- •Оглавление
- •Введение
- •1. Теория функций комплексного переменного
- •Комплексные числа и операции над ними
- •1.1.1. Определение комплексного числа
- •1.1.2. Формы записи комплексных чисел
- •1.1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •1.2. Функции комплексного переменного
- •1.3. Дифференцирование функций комплексного переменного
- •1.3.1. Определение производной
- •1.3.2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного
- •1.3.3. Производные основных элементарных функций
- •1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного
- •1.4.2. Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций
- •2. Теория рядов
- •2.1. Числовые ряды
- •2.1.1.Основные понятия Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)
- •Свойства сходящихся рядов
- •Замечание. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости, т.Е. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.
- •Т. Е. Сходимость ряда равносильна тому, что сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно большим номером, должна быть произвольно мала.
- •2.1.2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов
- •Пусть даны два положительных ряда и .
- •2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами
- •2.2. Функциональные ряды
- •2.2.1. Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства суммы сходящегося ряда
- •2.2.2. Степенные ряды
- •Область сходимости степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •2.3. Ряды Фурье
- •2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.
- •2.3.2. Сходимость ряда Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l
- •2.3.3. Интеграл Фурье
- •3. Теория вероятностей
- •Случайные события и их вероятности
- •Классификация событий
- •3.1.2. Операции над событиями
- •3.1.3. Аксиоматическое определение вероятности
- •Примеры вероятностных пространств
- •Конечное вероятностное пространство
- •2. Непрерывное вероятностное пространство
- •3.1.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.1.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
- •3.1.7. Статистическое определение вероятности
- •3.2. Случайные величины, их распределения и числовые
- •3.2.1.Дискретные случайные величины
- •3.2.2. Функция распределения. Плотность распределения
- •3.2.3. Математическое ожидание случайной величины
- •3.2.4. Дисперсия случайной величины
- •3.2.5. Примеры законов распределения случайных величин Дискретные случайные величины
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины
- •5. Равномерное распределение
- •6. Показательное распределение
- •7. Нормальное распределение
- •3.3. Системы случайных величин
- •3.3.1. Закон распределения системы случайных величин
- •Условный закон распределения
- •3.3.2. Числовые характеристики случайного вектора
- •3.3.3. Предельные теоремы теории вероятностей
- •4. Математическая статистика
- •4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений
- •4.1.1. Статистическое распределение выборки
- •4.1.2. Эмпирическая функция распределения
- •4.2. Оценки параметров распределения
- •4.2.1.Точечные оценки параметров распределения
- •4.2.2. Интервальные оценки параметров распределения
- •4.3. Проверка статистических гипотез
- •4.4. Статистические оценки параметров линейной корреляционной зависимости (между двумя случайными величинами)
- •5. Контрольная работа № 7. Задания
- •5.1. Пример выполнения контрольной работы № 1. Вариант 0.
- •5.2. Варианты заданий контрольной работы № 7
- •6. Контрольная работа № 8. Задания
- •6.1. Пример выполнения контрольной работы № 2. Вариант № 0.
- •6.2. Варианты заданий контрольной работы № 8
2.3.3. Интеграл Фурье
Пусть функция определена на промежутке , кусочно непрерывна вместе со своей производной в любом конечном промежутке и абсолютно интегрируема.
Определение. Формула ,
называется формулой Фурье, а интеграл в правой части формулы – интегралом Фурье для функции .
Равенство имеет место в точках непрерывности функции ; в точках разрыва данной функции интеграл Фурье равен среднему арифметическому ее односторонних пределов:
= .
Формулу Фурье можно переписать в другом виде:
,
где .
Замечание.
1). Если функция - четная, то формула Фурье принимает вид , где ;
в случае нечетной функции - , где .
2). Формулу Фурье можно представить в симметричной форме записи, если положить , . В случае четной функции:
, где ;
в случае нечетной функции:
, где .
Определение. Функции и называются соответственно косинус – преобразованием и синус – преобразованием Фурье для функции .
Пример. Представить интегралом Фурье функцию
Решение. Функция абсолютно интегрируема на промежутке : .
Функция нечетная, поэтому находим: .
Следовательно, .
3. Теория вероятностей
Случайные события и их вероятности
Классификация событий
Теория вероятностей изучает модели экспериментов со случайными исходами, так называемых случайных экспериментов.
Определение. Случайным экспериментом (опытом или испытанием) называют осуществление комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление.
Рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторять при неизменном комплексе условий произвольное число раз (по крайней мере теоретически). При проведении случайного эксперимента объектом наблюдения может быть некоторый процесс, физическое явление или действующая система. Понятие «наблюдаемый результат» означает, что существует возможность зарегистрировать его с помощью того или иного прибора (в простейшем случае, визуально).
Любой наблюдаемый результат опыта называют исходом (случайным событием).
Событие может произойти, а может и не произойти в результате эксперимента.
Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в этом опыте.
Событие называется невозможным, если оно в этом опыте произойти не может.
При математическом описании модели случайного эксперимента основным является понятие пространства элементарных исходов, связанного с данным опытом.
Определение. Пространством элементарных исходов называют множество всех мыслимых взаимоисключающих исходов такое, что результатом эксперимента является один и только один исход. В математической модели пространство элементарных исходов – это произвольное множество, а его элементы – это сами элементарные исходы.
Определение. Подмножества множества называют событиями и обозначают заглавными буквами и т.п.
Говорят, что событие А произошло, если результатом эксперимента явился элементарный исход , принадлежащий А ( ).
Пустое множество называют невозможным событием, а множество - достоверным событием.
Примеры. 1. Эксперимент состоит в подбрасывании игральной кости один раз.
Результатом эксперимента является количество очков, выпавших на верхней грани. Элементарный исход состоит в том, что = {выпало к очков}. Пространство элементарных исходов состоит из шести элементов: . Рассмотрим события:
А={выпало 5 очков}, B={число выпавших очков четное}, C={выпало больше трех очков}, D={выпало дробное число очков}, F={выпало число, меньшее 7}.
Эти события рассматривают как подмножества множества , а именно:
.
Отметим, что событие D – невозможное, а событие F – достоверное.
2. Рассмотрим следующий случайный эксперимент: матч по футболу между командами «Динамо» и «Спартак». Интересующие нас события: А={выиграла команда «Динамо»}, B={игра закончилась победой одной из команд}, C={игра закончилась со счетом 3:1 в пользу «Спартака»}, D={в игре забито не менее 3 голов}. Опишем пространство элементарных исходов и укажем подмножества, соответствующие указанным событиям. Что может служить исходом эксперимента, состоящего в проведении футбольного матча? Для полного и однозначного описания всех связанных с экспериментом событий, достаточно принять в качестве исхода счет матча. Запишем множество следующим образом:
,
где - количество голов, забитых командой «Динамо», - количество голов, забитых командой «Спартак», - множество неотрицательных целых чисел. Теоретически множество значений и неограничено. Подмножества, соответствующие указанным событиям:
, , , .
3. Эксперимент состоит в радиолокационном наблюдении воздушной цели. Наблюдаемый результат – положение светящегося пятна на экране индикатора цели, имеющего форму круга, радиуса 10 см. Опишем пространство элементарных исходов и следующие события: A={цель находится в первом квадранте}, B={цель находится в круге радиуса 5 см с центром в центре экрана}. Все интересующие нас события связаны с регистрацией положения светящегося пятна на экране. Удобной формой математического описания элементарного исхода являются координаты точки на плоскости в декартовой системе координат, связанной с центром экрана. Таким образом, пространство элементарных исходов бесконечно, непрерывно и может быть записано в виде:
.
Подмножества, соответствующие указанным событиям:
, .