- •Оглавление
- •Введение
- •1. Теория функций комплексного переменного
- •Комплексные числа и операции над ними
- •1.1.1. Определение комплексного числа
- •1.1.2. Формы записи комплексных чисел
- •1.1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •1.2. Функции комплексного переменного
- •1.3. Дифференцирование функций комплексного переменного
- •1.3.1. Определение производной
- •1.3.2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного
- •1.3.3. Производные основных элементарных функций
- •1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного
- •1.4.2. Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций
- •2. Теория рядов
- •2.1. Числовые ряды
- •2.1.1.Основные понятия Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)
- •Свойства сходящихся рядов
- •Замечание. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости, т.Е. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.
- •Т. Е. Сходимость ряда равносильна тому, что сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно большим номером, должна быть произвольно мала.
- •2.1.2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов
- •Пусть даны два положительных ряда и .
- •2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами
- •2.2. Функциональные ряды
- •2.2.1. Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства суммы сходящегося ряда
- •2.2.2. Степенные ряды
- •Область сходимости степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •2.3. Ряды Фурье
- •2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.
- •2.3.2. Сходимость ряда Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l
- •2.3.3. Интеграл Фурье
- •3. Теория вероятностей
- •Случайные события и их вероятности
- •Классификация событий
- •3.1.2. Операции над событиями
- •3.1.3. Аксиоматическое определение вероятности
- •Примеры вероятностных пространств
- •Конечное вероятностное пространство
- •2. Непрерывное вероятностное пространство
- •3.1.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.1.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
- •3.1.7. Статистическое определение вероятности
- •3.2. Случайные величины, их распределения и числовые
- •3.2.1.Дискретные случайные величины
- •3.2.2. Функция распределения. Плотность распределения
- •3.2.3. Математическое ожидание случайной величины
- •3.2.4. Дисперсия случайной величины
- •3.2.5. Примеры законов распределения случайных величин Дискретные случайные величины
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины
- •5. Равномерное распределение
- •6. Показательное распределение
- •7. Нормальное распределение
- •3.3. Системы случайных величин
- •3.3.1. Закон распределения системы случайных величин
- •Условный закон распределения
- •3.3.2. Числовые характеристики случайного вектора
- •3.3.3. Предельные теоремы теории вероятностей
- •4. Математическая статистика
- •4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений
- •4.1.1. Статистическое распределение выборки
- •4.1.2. Эмпирическая функция распределения
- •4.2. Оценки параметров распределения
- •4.2.1.Точечные оценки параметров распределения
- •4.2.2. Интервальные оценки параметров распределения
- •4.3. Проверка статистических гипотез
- •4.4. Статистические оценки параметров линейной корреляционной зависимости (между двумя случайными величинами)
- •5. Контрольная работа № 7. Задания
- •5.1. Пример выполнения контрольной работы № 1. Вариант 0.
- •5.2. Варианты заданий контрольной работы № 7
- •6. Контрольная работа № 8. Задания
- •6.1. Пример выполнения контрольной работы № 2. Вариант № 0.
- •6.2. Варианты заданий контрольной работы № 8
6. Контрольная работа № 8. Задания
1. Решить задачу (таблица 6).
2. Решить задачу с использованием формулы Бернулли (таблица 7).
3. По заданной плотности распределения найти требуемые величины (табл. 8).
4. По сгруппированным данным построить гистограмму относительных частот
(таблица 9).
5.Проверить нулевую гипотезу о том, что заданное значение является математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины при 5% уровне значимости для двусторонней критической области, если в результате обработки выборки объема получено выборочное среднее , а несмещенное квадратичное отклонение равно (таблица 10).
6. Найти выборочное уравнение линейной регрессии на на основании корреляционной таблицы (таблица 11).
6.1. Пример выполнения контрольной работы № 2. Вариант № 0.
В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность того, что извлекли два разноцветных шара?
Решение. Эксперимент состоит в извлечении двух шаров из пятнадцати. Выбор осуществляется без возвращения, порядок извлеченных шаров не играет роли. Элементарным исходом является пара объектов вида: номер шара и его цвет, например: (первый белый, третий черный). Количество таких исходов . Рассмотрим среди них исходы, благоприятствующие событию А={извлекли два разноцветных шара}. Количество способов выбрать один белый шар из 5 равно , количество способов выбрать один черный шар из 10 равно . Таким образом, количество благоприятствующих исходов . Воспользуемся формулой классической вероятности: , а . Следовательно, .
Ответ. .
Вероятность того, что расход электроэнергии в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшую неделю расход электроэнергии не превысит нормы в течении 4 суток.
Решение. Эксперимент состоит в том, что в течение 7 дней наблюдают за расходом электроэнергии. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжении каждых суток в неделю постоянна и равна . Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна . Искомое событие: А={ровно 4 раза в течении 7 дней расход электроэнергии будет нормальным}.
Используя формулу Бернулли, получаем:
. Ответ. .
3. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины - параметр распределения.
Найти нормировочную константу С, функцию распределения F(x), математическое ожидание M[X], дисперсию D[X].
Решение.
А) Константу С находим из свойства нормировки плотности распределения:
В данном случае, т.к. плотность содержит переменную под знаком модуля, то интеграл разбивается на два интеграла:
.
Отсюда .
Б) Плотность распределения и функция распределения связаны соотношением: .
Запишем плотность распределения следующим образом: . Функцию распределения будем искать, используя эти промежутки.
При
При .
Таким образом, функция распределения имеет вид:
.
В) Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно:
. В рассматриваемом случае:
(при вычислении интегралов использовалась формула интегрирования по частям).
Дисперсию случайной величины вычислим по формуле: Так как математическое ожидание равно 0, то дисперсия будет равна
Ответ: Для непрерывной случайной величины Х: нормировочная константа равна , функция распределения , математическое ожидание , дисперсия .
Задан интервальный вариационный ряд. Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным, здесь - частота попадания вариант в промежуток ( ).
№ |
|
mi |
1 |
2 - 4 |
5 |
2 |
4 - 6 |
8 |
3 |
6 - 8 |
16 |
4 |
8 - 10 |
12 |
5 |
10 - 12 |
9 |
Решение.
Для построения гистограммы надо рассчитать относительные частоты. Объем выборки: n=5+8+16+12+9=50. Длина интервалов: h=2. Относительные частоты определяются по формуле: . Их значения равны для соответствующих интервалов: 0.1; 0.16; 0.32; 0.24; 0.18. Интервальный вариационный ряд графически изображают с помощью гистограммы. Для ее построения на оси х откладывают отрезки частичных интервалов варьирования, на них строят прямоугольники высотой, равной относительной частоте. Для заданного примера гистограмма приведена на Рис. 12 .
Рис.12
5. Из нормальной генеральной совокупности с параметрами с известным средним квадратическим отклонением извлечена выборка объема и по ней найдена выборочная средняя . Требуется при уровне значимости по сгруппированным данным проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .
Решение. Данная задача относится к задачам проверки статистических гипотез, а именно, производится сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней для нормальной совокупности, если дисперсия генеральной совокупности известна.
Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральной средней нормальной совокупности с известной дисперсией гипотетическому (предполагаемому) значению , при конкурирующей гипотезе , надо:
- вычислить наблюдаемое значение критерия ,
- по таблице значений функции Лапласа найти критическую точку двусторонней критической области из равенства .
Если - нулевую гипотезу принимают, если - нулевую гипотезу отвергают. Найдем наблюдаемое значение критерия:
; .
По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область – двусторонняя.
Найдем критическую точку из равенства . По таблице функции Лапласа находим . Так как - нулевую гипотезу отвергаем, т.е выборочная и гипотетическая средние различаются значимо.
Ответ. Гипотеза о том, что параметр нормальной генеральной совокупности равен 26, отвергается, т.к. не соответствует выборочным данным.
Найти выборочное уравнение линейной регрессии на по данным корреляционной таблицы.
|
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
100 |
2 |
1 |
- |
7 |
- |
- |
120 |
4 |
- |
2 |
- |
- |
3 |
140 |
- |
5 |
- |
10 |
5 |
2 |
160 |
- |
- |
3 |
1 |
2 |
3 |
Решение. В том случае, когда варианты парной выборки встречаются по нескольку раз, причем с одним значением варианты может встретиться несколько вариант , их обычно представляют в виде корреляционной таблицы. На пересечении строк и столбцов этой таблицы отмечают частоту выбора соответствующей пары ( ). Частоты вариант находят как суммы по строкам и столбцам: . Очевидно, что - объем выборки.
Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид ,
где - выборочные средние для случайных величин и ; - выборочные средние квадратические отклонения; - выборочный коэффициент корреляции, причем , .
Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид .
Если данные наблюдений над признаками и заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целесообразно перейти к условным вариантам: , , где - «ложный нуль» вариант ( новое начало отсчета); в качестве ложного нуля выгодно принять варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (условимся принимать в качестве ложного нуля варианту, имеющую наибольшую частоту); - шаг, т.е. разность между двумя соседними вариантами ; - ложный путь вариант ; - шаг вариант .
В этом случае выборочный коэффициент корреляции , .
Величины могут быть найдены по формулам: .
По этим значениям можно определить входящие в уравнения регрессии величины по формулам: .
В заданной корелляционной таблице выберем в качестве ложных нулей . Шаг варианты , шаг варианты . Для упрощения расчетов введем условные варианты и составим преобразованную корреляционную таблицу с условными вариантами, в которую внесем значения :
|
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
-1 |
2 |
1 |
- |
7 |
- |
- |
10 |
0 |
4 |
- |
2 |
- |
- |
3 |
9 |
1 |
- |
5 |
- |
10 |
5 |
2 |
22 |
2 |
- |
- |
3 |
1 |
2 |
3 |
9 |
|
6 |
6 |
5 |
18 |
7 |
8 |
|
Затем составим новую таблицу, в которую внесем найденные значения в правый верхний угол заполненной клетки и в левый нижний угол, по центру остается частота. После этого суммируем верхние значения по строкам для получения значений и нижние значения по столбцам для и подсчитаем величины :
|
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
-1 |
-6 2 -2 |
-2 1 -1 |
- |
0 7 -7 |
- |
- |
-8 |
8 |
0 |
-12 4 0 |
- |
-2 2 0 |
- |
- |
6 3 0 |
-8 |
0 |
1 |
-
|
-10 5 5 |
- |
0 10 10 |
5 5 5 |
4 2 2 |
-1 |
-1 |
2 |
-
|
- |
-3 3 6 |
0 1 2 |
2 2 4 |
6 3 6 |
5 |
10 |
|
-2 |
4 |
6 |
5 |
9 |
8 |
- |
|
|
6 |
-8 |
-6 |
0 |
9 |
16 |
|
- |
Проверяем суммы , получаем .
Находим (умножаем значение варианты на сумму ее частот и находим среднее арифметическое этих величин):
Находим :
Определяем :
Вычисляем выборочный коэффициент корреляции :
Осуществим переход к исходным вариантам:
Находим уравнение линии регрессии на : или . Аналогично, уравнение линии регрессии на :
или .
Ответ. Линии регрессии имеют вид: и .