3.1.7. Статистическое определение вероятности
Предположим, что проведена достаточно большая серия из одинаковых экспериментов. В каждом из этих опытов может произойти или не произойти событие A.
Определение.
Относительная частота события
A (или просто частота)
определяется формулой
где
-
число опытов, в которых появилось событие
A,
-
число всех проведенных опытов.
Определение. Условной называется частота одного события, вычисленная при условии, что другое событие наступило.
Частота события обладает свойствами, аналогичными свойствам вероятности:
для любого события A частота
если событие A достоверное, т.е. происходит во всех опытах, то
частота суммы двух несовместных событий равна сумме частот этих событий:
;
частота произведения двух событий равна произведению частоты одного на условную частоту другого:
,
.
Определение. Статистической вероятностью события называется число, около которого группируются значения относительной частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.
Пример. В результате 20 выстрелов по мишени получено 15 попаданий. Какова относительная частота попаданий?
Решение.
Так как произведена серия из 20 выстрелов,
то
.
Событие А={произошло попадание в
мишень} наступило 15 раз:
.
Тогда относительную частоту можно
вычислить по формуле
.
Получаем:
.
3.2. Случайные величины, их распределения и числовые
характеристики
3.2.1.Дискретные случайные величины
Для исследования различных явлений, встречающихся в природе, технике, социологии и др. бывает недостаточно только понятия случайного события. На протяжении столетия формировалось еще одно понятие – понятие случайной величины. Случайная величина – это переменная величина, принимающая в зависимости от случая те или иные значения, но заранее, до опыта неизвестно, какие именно.
Примеры. 1. В течении дня на телефонную станцию поступают вызовы. Тогда количество вызовов в данный конкретный день есть случайная величина, возможные значения которой, теоретически, от нуля до бесконечности.
Спортсмен делает пять выстрелов по мишени. Количество попаданий в «яблочко» - есть случайная величина, возможные значения которой от нуля до пяти, причем до эксперимента неизвестно, сколько раз спортсмен поразит цель.
Диаметр изготовленной детали теоретически должен быть равен а. Однако на практике этот диаметр отличается от теоретического значения. Погрешность изготовления детали есть величина случайная, возможные значения которой принадлежат промежутку
,
который связан с реальными условиями
производства.
Рассмотрим вероятностное пространство , связанное с некоторым экспериментом.
Определение.
Случайной величиной называется
действительная числовая функция
,
определенная для
,
такая, что при всех действительных
значениях
множество
принадлежит алгебре событий
.
Случайные величины принято обозначать большими буквами латинского алфавита: X, Y, Z, а их значения – малыми: x, y, z.
Определение. Случайная величина называется дискретной (ДСВ), если множество ее значений конечное или счетное. Случайная величина называется непрерывной (НСВ), если множество значений сплошь заполняет отрезок числовой оси или всю числовую ось.
В примерах 1 и 2 рассмотрены дискретные случайные величины, в примере 3 – непрерывная.
Чтобы задать случайную величину, недостаточно знать только ее возможные значения. Необходимо также установить вероятность того, что случайная величина примет то, или иное значение.
Определение.
Законом распределения случайной
величины
называется соотношение между ее
значениями
и
их вероятностями
;
здесь
(вероятность
того, что случайная величина
примет значение
).
Закон
распределения дискретной случайной
величины
,
принимающей конечное множество значений
с вероятностями
,
соответственно, можно задать таблицей
или
формулами
;
.
Закон распределения дискретной случайной величины , принимающей бесконечную последовательность значений с вероятностями соответственно, задается соотношениями:
;
.
Если значения упорядочены по возрастанию, то такую таблицу называют рядом распределения.
Еще один способ задать закон распределения – определить функцию распределения случайной величины.