3.1.2. Операции над событиями

Пространство элементарных исходов - есть произвольное множество, а случайные события – его подмножества. Введем операции над событиями и свяжем с ними операции над множествами.

Определение. Если при каждом осуществлении комплекса условий, при котором происходит событие A, происходит и событие B, то говорят, что A влечет за собой B, или A является частным случаем B (обозначается ). В этом случае, множество A является подмножеством множества B.

Определение. Если и , то говорят, что события A и B равны: . В этом случае, множества A и B совпадают.

Определение. Суммой или объединением двух событий A и B называется событие (обозначается или ), состоящее в появлении хотя бы одного из них.

По индукции определяется сумма n событий:

.

Операции сложения событий соответствует операция объединения множеств.

Определение. Произведением или пересечением двух событий A и B называется событие (обозначается или ), состоящее в том, что они произошли одновременно.

По индукции произведение n событий: , означает событие, состоящее в появлении всех событий .

Операции перемножения событий соответствует оперция пересечения множеств.

Понятия суммы и произведения событий распространяются на бесконечные последовательности событий, в этих случаях соответственно применяют обозначения:

, .

Определение. Разностью событий A и B называется событие (обозначается или ), которое означает, что наступает событие A и не происходит событие B. Разность множеств A и B соответствует разности событий.

Определение. Событие называют противоположным событию A; событие означает, что A не произошло. Множество, соответсвующее событию , является дополнением к множеству A.

Определение. События A и B называют несовместными, если в результате эксперимента они не могут произойти одновременно, т.е. . Это соотношение означает, что множества A и B не пересекаются.

Пример. Эксперимент состоит в подбрасывании игральной кости один раз.

Элементарный исход ={на верхней грани выпало к очков}. Пространство элементарных исходов состоит из шести элементов: . Рассмотрим события из примера 1:

А={выпало 5 очков}, B={число выпавших очков четное}.

Эти события рассматривают как подмножества множества , а именно:

.

Опишем следующие события: .

Событие состоит в том, что B не произошло, значит

={выпало нечетное число очков };

Событие состоит в том, что A и B произошли одновременно, значит

- невозможное событие, т.к. число 5 не является четным. Это означает, что события A и B несовместные.

Событие состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий A или B, значит ={выпало четное число очков или пятерка} .

Событие состоит в том, что событие произошло, а событие A нет.

Таким образом, ={выпали единица или тройка}.

3.1.3. Аксиоматическое определение вероятности

Пусть - пространство элементарных исходов, - некоторое множество (система ) случайных событий.

Определение. Система случайных событий называется алгеброй событий, если выполнены условия: 1) ; 2) если , то , , .

Из этого определения вытекает, что , .

Определение. Алгебра событий называется - алгеброй, если из того, что , следует .

Определение. Числовая функция , определенная на алгебре событий , называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы.

Аксиома 1. Каждому событию ставится в соответствие неотрицательное число - его вероятность, т.е. для любого .

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице: .

Аксиома 3. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. , если .

Аксиома 4. Для любой последовательности событий из такой, что и , справедливо равенство .

Определение. Тройка , в которой является - алгеброй и функция удовлетворяет аксиомам 1-4, называется вероятностным пространством.

Простейшие следствия из аксиом вероятности:

1. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: . Тогда .

2. Вероятность невозможного события равна нулю: .

3. Если событие A влечет событие B , то .

4. Для любых событий A и B верны соотношения: и (Теорема сложения вероятностей).

5. Для любых событий выполняется неравенство .

6. Если события попарно несовместны (т.е. при любых ), то .

7. Если события - попарно несовместны и , то .

8. Если и , то .

Если и , то .