- •Оглавление
- •Введение
- •1. Теория функций комплексного переменного
- •Комплексные числа и операции над ними
- •1.1.1. Определение комплексного числа
- •1.1.2. Формы записи комплексных чисел
- •1.1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •1.2. Функции комплексного переменного
- •1.3. Дифференцирование функций комплексного переменного
- •1.3.1. Определение производной
- •1.3.2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного
- •1.3.3. Производные основных элементарных функций
- •1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного
- •1.4.2. Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций
- •2. Теория рядов
- •2.1. Числовые ряды
- •2.1.1.Основные понятия Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)
- •Свойства сходящихся рядов
- •Замечание. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости, т.Е. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.
- •Т. Е. Сходимость ряда равносильна тому, что сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно большим номером, должна быть произвольно мала.
- •2.1.2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов
- •Пусть даны два положительных ряда и .
- •2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами
- •2.2. Функциональные ряды
- •2.2.1. Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства суммы сходящегося ряда
- •2.2.2. Степенные ряды
- •Область сходимости степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •2.3. Ряды Фурье
- •2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.
- •2.3.2. Сходимость ряда Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l
- •2.3.3. Интеграл Фурье
- •3. Теория вероятностей
- •Случайные события и их вероятности
- •Классификация событий
- •3.1.2. Операции над событиями
- •3.1.3. Аксиоматическое определение вероятности
- •Примеры вероятностных пространств
- •Конечное вероятностное пространство
- •2. Непрерывное вероятностное пространство
- •3.1.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.1.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
- •3.1.7. Статистическое определение вероятности
- •3.2. Случайные величины, их распределения и числовые
- •3.2.1.Дискретные случайные величины
- •3.2.2. Функция распределения. Плотность распределения
- •3.2.3. Математическое ожидание случайной величины
- •3.2.4. Дисперсия случайной величины
- •3.2.5. Примеры законов распределения случайных величин Дискретные случайные величины
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины
- •5. Равномерное распределение
- •6. Показательное распределение
- •7. Нормальное распределение
- •3.3. Системы случайных величин
- •3.3.1. Закон распределения системы случайных величин
- •Условный закон распределения
- •3.3.2. Числовые характеристики случайного вектора
- •3.3.3. Предельные теоремы теории вероятностей
- •4. Математическая статистика
- •4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений
- •4.1.1. Статистическое распределение выборки
- •4.1.2. Эмпирическая функция распределения
- •4.2. Оценки параметров распределения
- •4.2.1.Точечные оценки параметров распределения
- •4.2.2. Интервальные оценки параметров распределения
- •4.3. Проверка статистических гипотез
- •4.4. Статистические оценки параметров линейной корреляционной зависимости (между двумя случайными величинами)
- •5. Контрольная работа № 7. Задания
- •5.1. Пример выполнения контрольной работы № 1. Вариант 0.
- •5.2. Варианты заданий контрольной работы № 7
- •6. Контрольная работа № 8. Задания
- •6.1. Пример выполнения контрольной работы № 2. Вариант № 0.
- •6.2. Варианты заданий контрольной работы № 8
2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами
Рассмотрим вещественные знакопеременные ряды, имеющие бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов.
Примеры знакопеременных рядов:
1) ;
2) - этот ряд является знакопеременным, так как , и т. д.
Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды:
, где
Теорема 10 (Признак Лейбница). Пусть в ряде числа такие, что и . Тогда этот ряд сходится.
Рассмотрим произвольный числовой ряд с вещественными или комплексными членами и положительный ряд, составленный из модулей .
Определение. Ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд .
Определение. Ряд называют условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.
Теорема 11. Если сходится ряд , то сходится и ряд .
Для исследования абсолютной сходимости можно использовать признаки сходимости рядов с положительными членами (например, Даламбера и Коши).
Пример. Исследовать сходимость знакопеременного ряда (абсолютную и условную сходимость): .
Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда: . Этот ряд расходится, как обобщенный гармонический ряд при . Исходный ряд знакочередующийся, его члены монотонно убывают по абсолютной величине и . Следовательно, он сходится по признаку Лейбница. Значит, сходимость этого ряда условная.
Пример. Исследовать сходимость знакопеременного ряда: .
Решение. Рассмотрим положительный ряд: . Используя предельный признак сравнения, сравним этот ряд с гармоническим рядом : . Таким образом, ряд расходится. Исходный ряд знакочередующийся, его члены монотонно убывают по абсолютной величине, и . Значит, он сходится по признаку Лейбница. Значит, исходный ряд сходится условно.
2.2. Функциональные ряды
Рассмотрим последовательность функций вещественного или комплексного переменного , определенных на некотором множестве :
.
Определение. Функциональным рядом называют выражение
2.2.1. Сходимость функционального ряда
Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке , если сходится соответствующий ему числовой ряд .
Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в области , если он сходится в каждой точке этой области.
Определение. Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся в области , если в этой области сходится ряд, составленный из модулей его членов, т.е. сходится ряд .
Определение. Функциональный ряд называется условно сходящимся в области , если он сходится в этой области, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Определение. Областью сходимости (абсолютной сходимости) функционального ряда называют множество тех значений , при которых ряд сходится (абсолютно сходится).
Пример. Найти область сходимости ряда .
Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, этот ряд сходится при , т.е. при всех - это область сходимости; сумма ряда равна: .
Пример. Найти область сходимости ряда: .
Решение. Рассмотрим ряд из модулей членов и применим к нему признак Даламбера:
= .
(Здесь использована эквивалентность бесконечно малых: при ). Таким образом, ряд абсолютно сходится при любом .