- •Оглавление
- •Введение
- •1. Теория функций комплексного переменного
- •Комплексные числа и операции над ними
- •1.1.1. Определение комплексного числа
- •1.1.2. Формы записи комплексных чисел
- •1.1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •1.2. Функции комплексного переменного
- •1.3. Дифференцирование функций комплексного переменного
- •1.3.1. Определение производной
- •1.3.2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного
- •1.3.3. Производные основных элементарных функций
- •1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного
- •1.4.2. Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций
- •2. Теория рядов
- •2.1. Числовые ряды
- •2.1.1.Основные понятия Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)
- •Свойства сходящихся рядов
- •Замечание. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости, т.Е. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.
- •Т. Е. Сходимость ряда равносильна тому, что сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно большим номером, должна быть произвольно мала.
- •2.1.2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов
- •Пусть даны два положительных ряда и .
- •2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами
- •2.2. Функциональные ряды
- •2.2.1. Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства суммы сходящегося ряда
- •2.2.2. Степенные ряды
- •Область сходимости степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •2.3. Ряды Фурье
- •2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.
- •2.3.2. Сходимость ряда Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l
- •2.3.3. Интеграл Фурье
- •3. Теория вероятностей
- •Случайные события и их вероятности
- •Классификация событий
- •3.1.2. Операции над событиями
- •3.1.3. Аксиоматическое определение вероятности
- •Примеры вероятностных пространств
- •Конечное вероятностное пространство
- •2. Непрерывное вероятностное пространство
- •3.1.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.1.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
- •3.1.7. Статистическое определение вероятности
- •3.2. Случайные величины, их распределения и числовые
- •3.2.1.Дискретные случайные величины
- •3.2.2. Функция распределения. Плотность распределения
- •3.2.3. Математическое ожидание случайной величины
- •3.2.4. Дисперсия случайной величины
- •3.2.5. Примеры законов распределения случайных величин Дискретные случайные величины
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины
- •5. Равномерное распределение
- •6. Показательное распределение
- •7. Нормальное распределение
- •3.3. Системы случайных величин
- •3.3.1. Закон распределения системы случайных величин
- •Условный закон распределения
- •3.3.2. Числовые характеристики случайного вектора
- •3.3.3. Предельные теоремы теории вероятностей
- •4. Математическая статистика
- •4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений
- •4.1.1. Статистическое распределение выборки
- •4.1.2. Эмпирическая функция распределения
- •4.2. Оценки параметров распределения
- •4.2.1.Точечные оценки параметров распределения
- •4.2.2. Интервальные оценки параметров распределения
- •4.3. Проверка статистических гипотез
- •4.4. Статистические оценки параметров линейной корреляционной зависимости (между двумя случайными величинами)
- •5. Контрольная работа № 7. Задания
- •5.1. Пример выполнения контрольной работы № 1. Вариант 0.
- •5.2. Варианты заданий контрольной работы № 7
- •6. Контрольная работа № 8. Задания
- •6.1. Пример выполнения контрольной работы № 2. Вариант № 0.
- •6.2. Варианты заданий контрольной работы № 8
Ряды Тейлора и Маклорена
Предположим, что функция в промежутке имеет непрерывные производные всех порядков. Для такой функции справедливы формулы:
и , называемые формулами Тейлора и Маклорена. Слагаемое называют остаточным членом формулы.
Составим ряд
,
в частности, при , - ряд .
Определение. Такие ряды (независимо от того, сходятся они или нет) называются соответственно рядами Тейлора и рядами Маклорена для функции f(x).
Рассмотрим ряд Маклорена для функции f(x). Этот ряд является степенным, поэтому его область сходимости – интервал .
Теорема 7 (Сходимость ряда Маклорена). Для того, чтобы ряд Маклорена сходился и имел своей суммой функцию f(x), необходимо и достаточно, чтобы на остаточный член формулы Маклорена стремился к нулю при : .
Если выполняются условия теоремы, то говорят, что функция разлагается в степенной ряд на интервале .
Приведем разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций и область сходимости рядов:
; ; ;
, ; ;
.
2.3. Ряды Фурье
2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.
Периодические процессы
Определение. Функция , определенная на множестве , называется периодической если существует такое число , что при каждом , значение и выполняется равенство . Наименьшее из таких чисел называют основным периодом функции.
Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции и . Период этих функций равен , т. е. .
Простейшим периодическим процессом (движением) является простое гармоническое колебание (движение), описываемое функцией
, ,
где А – амплитуда колебания, - частота, - начальная фаза.
Функцию такого вида называют простой гармоникой. Основным периодом функции является , т. е. одно полное колебание совершается за промежуток времени ( показывает, сколько колебаний совершает точка в течение единиц времени).
Сложное гармоническое колебание (периодический процесс), возникающее в результате наложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также описывается функциями вида и .
Определение. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида
,
действительные числа называются коэффициентами ряда.
Замечание. Тригонометрический ряд можно переписать в виде
.
Значит, любой периодический процесс, можно задать тригонометрическим рядом, т.е. наложением простых гармоник.
Члены такого ряда удовлетворяют соотношениям (m и n целые положительные числа):
при любом n,
.
Замечание. Приведенные соотношения показывают, что семейство функций обладает свойством ортогональности, т.е. интеграл от произведения любых двух различных функций этого семейства на интервале, имеющем длину , равен нулю.
Будем рассматривать функции , имеющие период . Такие функции называют - периодическими.
Пусть - произвольная периодическая функция с периодом . Тогда можно построить тригонометрический ряд на отрезке следующим образом:
,
где , , .
Определение. Числа , определяемые по данным формулам, называются коэффициентами Фурье функции , а тригонометрический ряд с такими коэффициентами – рядом Фурье функции ; при этом говорят: функции соответствует (поставлен в соответствие) ее ряд Фурье.