Пример 2.3.1

Из оптимальной симплекс-таблицы исходной задачи можно найти эти изменения, не решая новую задачу симплекс-методом. Далее будут использо-ваться некоторые элементы последней симплекс-таблицы (табл. 2.1.3).

Таблица 2.1.3

базис	значение	x1	x2	s1	s2
x1=	100	1	0	0,6	-20
x2=	50	0	1	-0,2	10
z=	9000	0	0	4	200
		Δ1	Δ2	y1	y2

Пусть запас сырья изменяется на величину Δb₁.

Для определения новых значений базисных переменных нужно к их старым значениям (второй столбец) прибавить соответствующие значения столбца s₁, умноженные на Δb₁:x₁= 100 + 0,6Δb₁,x₂= 50 – 0,2Δb₁.

Значения свободных переменных не изменяются s₁=0, s₂=0. Так как теневая цена этого ресурса y₁ = 4, то выручка изменится на величину Z = y₁ Δb₁ = 4 Δb₁.

Таким образом, при новом запасе сырья оптимальное решение прямой задачи X = {x₁= 100 + 0,6 Δb₁, x₂ = 50 - 0,2Δb₁, s₁= 0, s₂ = 0}.

Выручка на этом плане составит Z = 9000 + 4 Δb₁.

Отсюда следует, что элементы столбца s₁ симплекс-таблицы показывают изменения базисных переменных x₁, x₂ и выручки Z при увеличении первого ресурса на 1: переменная x₁ увеличивается на 0,6, переменная x₂ уменьшается на 0,2 и выручка Z увеличивается на 4.

Найдем границы интервала устойчивости первого ресурса.

Заметим, что при уменьшении запаса сырья на 200 (Δb₁ = -200) выпуск первой продукции становится отрицательнымx₁= 100 + 0,6 Δb₁ = -20.

Это означает, что такое изменение выводит запас ресурса за интервал устойчивости.

Изменение запаса сырья на величину Δb₁будет допустимым, если оптимальная программа выпуска будет неотрицательна, т.е. выполняются неравенстваx₁= 100 + 0,6 Δb₁ ≥ 0,x₂ = 50 - 0,2 Δb₁ ≥ 0.

Исходя из этих неравенств, найдем максимальное уменьшение и максима-льное увеличение первого ресурса.

Найдем максимальное уменьшение запаса сырья . Если запас первого ресурсауменьшается на величину Δb₁ (Δb₁<0), то выпуск первого продукта уменьшается на 0,6 Δ b₁, а выпуск второго продукта увеличивается на 0,2 Δ b₁.Отсюда следует, что максимальное уменьшение определяется значением Δb₁, при котором план первого продукта будет равен 0:

x₁ = 100 + 0,6 Δb₁ = 0, Δb₁=,.

Найдем максимальное увеличениезапаса сырья. Если запас первого ресурсаувеличиваетсяна величину Δb₁(Δb₁ > 0), то выпуск первого продуктаувеличиваетсяна величину 0,6 Δb₁, а выпуск второго продуктауменьшаетсяна 0,2 Δb₁. Отсюда следует, что максимальное увеличение определяется значе-ниием Δb₁, при котором план второго продукта будет равен 0:

x₂ = 50 - 0,2Δb₁=0,.

Следовательно, нижняя граница интервала устойчивости

,

верхняя граница интервала устойчивости

.

Интервал устойчивости будет равен .

Пусть изменяется запас времени работы оборудования на величину Δb₂

Для определения новых значений базисных переменных нужно к старым значениям этих переменных прибавить соответствующие значения столбца s₂, умноженные на Δb₂: x₁= 100 - 20Δb₂, x₂=50 + 10Δb₂.

Так как теневая цена этого ресурса y₂ = 200, то выручка изменится на величину Z = y₂ Δ b₂ = 200 Δ b₂.

Таким образом, при новом запасе сырья оптимальное решение прямой задачи X = {x₁=100 - 20Δb₂, x₂=50 + 10Δb₂, s₁=0, s₂ = 0}.

Выручка на этом плане составит Z = 9000+200Δb₂.

Отсюда следует, что элементы столбца s₂симплекс-таблицы показывают изменения базисных переменныхx₁,x₂и выручкиZпри увеличении второго ресурса на 1: переменнаяx₁уменьшается на 20, переменнаяx₂увеличивается на 10 и выручкаZувеличивается на 200.

Найдем границы интервала устойчивости второго ресурса.

Заметим, что при уменьшении времени работы оборудования на 10 часов(Δb₁= -10) выпуск второй продукции становится отрицательным

x₂ = 50 + 10 Δb₂= -50.

Это означает, что такое изменение выводит запас ресурса за интервал устойчивости.

Изменение второго ресурса на величину Δb₂будет допустимым, если вызванное им оптимальная программа выпуска будет неотрицательна, т.е. выполняются неравенства:x₁=100 - 20Δb₂ ≥ 0,x₂=50 + 10Δb₂ ≥ 0.

Исходя из этих неравенств, найдем максимальное уменьшение и максимальное увеличение второго ресурса.

Найдем максимальное уменьшение второго ресурса. Если запас второго ресурсауменьшается на величинуΔb₂(Δb₂ < 0), то выпуск первого продуктаувеличиваетсяна 20Δb₂, а выпуск второго продуктауменьшаетсяна 10 Δb₂. Отсюда следует, что максимальное уменьшение определяется значением Δb₂, при котором план второго продукта будет равен 0:

x₂=50 + 10Δb₂ = 0, Δb₂=-5,=5.

Найдем максимальное увеличение второго ресурса. Если запас второго ресурса Δb₂увеличивается(Δb₂ > 0), то выпуск первого продуктауменьшаетсяна 20 Δb₂, а выпуск второго продуктаувеличиваетсяна 10 Δb₂. Отсюда следует, что максимальное увеличение определяется значением Δb₂, при котором план первого продукта будет равен 0:x₁=100 - 20Δb₂ = 0.=5.

Следовательно, нижняя граница интервала устойчивости

,

верхняя граница интервала устойчивости

.

Интервал устойчивости будет равен .