Пример 4.2.1

Рассмотрим задачу квадратичного программирования. Найти минимум целевой функции

(4.2.3)

при ограничениях

x₁ +x₂≥ 200,x₁≥ 0,x₂≥ 0 (4.2.4)

В матричных обозначениях

X= (x₁,x₂)^T,

C= (4 ,0),

B= (-200),

A= (-1,-1), .

Решения этой задачи в ЭТ

Установим начальные значения х₁их₂, равными 1. Таблица с начальными значениямих₁их₂ в режиме вычислений приведена в табл. 5.2.1, в режиме формул – табл. 5.2.2.

В ячейку D7 введем формулу для вычисления целевой функции (5.2.3):

= B4*B4 +C4*C4 + 4*B4. В ячейкуD9 введем формулу левой части неравенства (5.2.4): = СУММПРОИЗВ(B4:C4;B9:C9). В ячейкуF9 – значение правой части ограничения (5.2.4): 200.

Таблица 5.2.1

Таблица 5.2.2

Для вычисления минимального значения целевой функции воспользуемся режимом Поиск решения. Для этого:

• выполнить команды: СервисПоиск решения. Откроется диалоговое окноПоиск решения;

• заполнить поля целевой ячейки и изменяемые ячейки (рис. 5.2.1);

• для ввода ограничений щелкнуть по кнопке Добавить. Появится окноДобавление ограничений. Ввести ограничения (5.2.4) –D9 ≥F9. Нажать на кнопкуОК;

• для ввода параметров щелкнуть по кнопке Параметры. Появится окноПараметры поиска решения(рис. 5.2.2). Курсором мыши поставить флажкиНеотрицательные значения иквадратичная;

• Для запуска режима Поиск решениянажать кнопкуВыполнить.

Рис. 5.2.1

Рис. 5.2.2

В результате получаем решение задачи (табл. 5.2.3)

Таблица 5.2.3

Из него следует, что минимальное значение целевой функции 20 398 достигается при значениях

x₁= 99 ,x₂=101.

Вопросы для самопроверки

1. Может ли целевая функция квадратичного программирования содержать ?

33. Могут ли ограничения задачи квадратичного программирования содержать ?

34. Является ли следующая задача задачей квадратичного программирования? +sinx

при ограничениях x₁+x₂ ≥ 200 , x₁ ≥ 0 , x₂ ≥ 0

Раздел 5. Производственные функции

5.1. Свойства производственных функций

Изучаемые вопросы:

• Определение и примеры производственных функций.

• Свойство монотонности. Предельные производительности ресурсов.

• Свойства вогнутости и однородности.

Определение и примеры производственных функций.

Предположим, что фирма производит один вид продукта, для производства которого использует 2 вида ресурсов. Обозначим через

Y количество, выпускаемой продукции,

x₁ количество первого ресурса,

x₂ количество второго ресурса.

Вектор

X=(x₁, x₂)

будем называть вектором затрат ресурсов.

Производственная функция определяет зависимость между выпуском продукции и вектором затрат ресурсов.

Производственной называется любая функция Y = f(x₁, x₂), которая каждому вектору затрат ресурсов X=(x₁, x₂) ставит в соответствие количество продукции Y, которое может быть получено при этих затратах.

Выпуск продукции и затраты ресурсов на микроэкономическом уровне измеряется и в натуральных, и стоимостных показателях, а на макроэконо-мическом уровне – в основном в стоимостных показателях.

Примеры производственных функций.

Производственную функцию затраты-выпуск (функцию Леонтьева) задают формулой

_{, (5.1.1)}

_или

_(5.1.2)

_{где x1, x2 обозначают затраты каждого ресурса, Y – количество, выпускаемой продукции. Правые части (5.1.2) определяют минимальное количество каждого ресурса, необходимое для производства выпуска продукции Y .}