Решение

3.1.1. Заполнение исходных данных

В ячейках B5:B7 помещены максимальные объемы производства, в ячейках C4:F4 помещены минимальные объемы потребления, в ячейках C5:F7 помещены стоимости перевозок (табл. 2.1.2).

1. Внесение формул

В ячейки B11:B13 внесем формулы, вычисляющие левые части ограничений (2.2.2). Для этого:

• в ячейку B11 введем формулу для вычисления количества продукции, вывозимой из пункта А₁=СУММ(C11:F11);

• для вычисления количества продукции, вывозимой из пунктов А₂и А₃достаточно формулу в ячейке B11 скопировать в ячейки B12 и B13.

Таблица 2.1.2

В ячейки C10:F10 внесем формулы, вычисляющие левые части ограничений. (2.2.3). Для этого:

• в ячейку C10 введем формулу, вычисляющую количество продукции, необходимое в пункте потребления В₁=СУММ(C11:C13);

• для вычисления количества продукции, необходимой в пунктах В₂,В₃иВ₄достаточно формулу в ячейке С10 скопировать в ячейки D10:F10.

В целевую ячейку B15 внесем формулу для целевой функции (2.2.1)

=СУММПРОИЗВ(C5:F7;C11:F13).

2. Заполнение окна Поиск решения.

• выполнить команды: СервисПоиск решения. Откроется диалоговое окноПоиск решения.

• заполнить поля целевой ячейки и изменяемые ячейки (рис. 2.1.1);

• для ввода ограничений щелкнуть по кнопке Добавить. Появится окноДобавление ограничений. Ввести ограничения (2.2.2) –B11:B13≤B5:B7 (рис.  2.1.2). Нажать кнопкуДобавить. Аналогично ввести ограничение (2.2.3) –C10:F10≥C4:F4. Нажать на кнопкуОК;

• для ввода параметров щелкнуть по кнопке Параметры. Появиться окноПараметры поиска решения(рис. 2.1.3). Курсором мыши поставить флажкиЛинейная модельиНеотрицательные значения.

• Для запуска режима Поиск решениянажать кнопкуВыполнить.

3) В появившемся окне Результаты поиска решениянажать кнопкуОК.

4) В результате получим оптимальный план решения (табл. 2.1.3)

Рис. 2.1.1

Рис . 2.1.2

Рис. 2.1.3

В ячейках C11:F13 (табл. 2.1.3) оптимальный план перевозок:

x₁₁=20, x₁₂=0, x₁₃=10, x₁₄=0, x₂₁=0, x₂₂=30, x₂₃=0, x₂₄=10, x₃₁=0, x₃₂=0, x₃₃=20, x₃₄=0.

В ячейке B15 минимальные транспортные расходы

Таблица 2.1.3

3.2. Выполнение задания 2 Пример

Предположим, что инвестор имеет возможность составить сроком на 1 год один из 4 видов ценных бумаг:

ГО – государственные облигации с купонной ставкой 8 % годовых,

ГФ – корпоративные ценные бумаги (голубые фишки) с купонной ставкой 9 % годовых,

инвестиционные проекты 1 и 2, все доходы которых поступят в конце года. Доходность инвестора зависят от состояния экономики в конце года и определяется таблицей

	Спад глубокий	Спад незнач.	Стагнация	Подъем незнач.	Подъем сильный
ГО	8	8	8	8	8
ГФ	12	10	9	8,5	8
Проект 1	-3	6	11	14	19
Проект 2	-2	9	12	15	26

Например, еслиинвестор в начале года вкладывает все средства в корпоративные ценные бумаги в (ГФ), а в конце года ожидается незначительный спад экономики, то он может рассчитывать на доходность 10 % (элемент таблицы на пересечении второй строки и третьего столбца). Инвестор стремится распределить все свои средства между ценными бумагами так, чтобы ожидаемая доходность была наибольшей.

Сформулируем эту задачу как матричную игру двух лиц с нулевой сумой. Игрок I – инвестор выбирает одну из четырех ценных бумаг. Его чистая стратегия инвестора состоит в выборе одну из четырех строк матрицы доходов. Игрок II – “экономика” выбирает одно из состояний. Чистая стратегия “экономики” состоит в выборе столбца матрицы доходов. Если инвестор выбирает строку i, а “экономика” выбирает столбец j, то элемент матрицы доходов q (i, j) является выигрышем инвестора. Считаем, что игрок II – “эконо-мика” выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать доход инвестора. При этом выигрыш “экономики” равен выигрышу инвестора с противо-положным знаком - q (i, j).

Обозначим p₁ долю капитала, потраченную на приобретение ГО, p₂ долю капитала, потраченную на приобретение ГФ, p₃ – долю капитала, которую он вкладывает в проект 1, p₄ – долю капитала, которую он вкладывает в проект 2. Смешанной стратегией инвестора является набор долей капитала

,

Тогда выражение

8p₁+ 12p₂- 3p₃ – 2p₄

определяет доход инвестора, если в конце года произойдет спад экономики.

Аналогично, выражения

8p₁+ 10p₂+ 6p₃ + 9p₄,

8p₁ + 9p₂ + 11 p₃ + 12 p₄,

8p₁ + 8,5 p₂ + 14p₃ +1 9 p₄,

8p₁ + 8 p₂+ 19p₃ + 26 p₄

определяет доход инвестора, если в конце года произойдет незначительный спад, стагнация, незначительный подъем и сильный подъем соответственно.

Смешанной стратегией второго игрока – “экономики” является набор

,

,

где обозначают вероятность, в конце года произойдет спад экономики, незначительный спад, стагнация, незначительный подъем и сильный подъем соответственно. Тогда ожидаемый доход инвестора будет равен

v(p,q) = (8 p₁+ 12p₂ – 3p₃ – 2p₄) q₁ + (8p₁+10p₂ + 6p₃ + 9p₄) q₂ +

+(8 p₁ + 9 p₂ + 11 p₃ + 12 p₄) q₃+(8p₁ + 8,5p₂ +14 p₃ + 19 p₄) q₄+

+ (8p₁+ 8p₂ + 19p₃ + 26p₄) q₅.

Игрок I– инвестор должен выбирать свои смешанные стратегииp так, чтобы получить максимальный ожидаемый доход, а игрокII– “экономика” должен выбирать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать ожидаемый доход игрокаI.

Определение значения игры и оптимальной стратегии инвестора является задачей линейного программирования:

найти переменные v, p₁, p₂, p₃, p₄, которые максимизируют его выигрыш

minv

при ограничениях

,

8p₁+ 12p₂ – 3p₃ – 2p₄ –v ≥ 0,

8p₁+ 10p₂ + 6p₃ + 9p₄ – v ≥ 0,

8p₁+ 9p₂ + 11p₃ + 12p₄ – v ≥0,

8p₁+ 8,5p₂ + 14p₃ + 19p₄ – v ≥ 0,

8p₁+ 8p₂ + 19p₃ + 26p₄ – v ≥0,

p₁ ≥ 0p₂ ≥ 0p₃ ≥ 0p₄ ≥ 0,

vне имеет ограничения на знак.

Смысл неравенств состоит в следующем. Если инвестор использует свои оптимальные доли распределения капитала p₁,p₂,p₃,p₄, то его ожидаемый доход будет не меньше значения игрыvпри любом состоянии экономики в конце года.