Пример 5.1.3

Проверим свойство монотонности для мультипликативной функции

Предельная производительность капитала положительна

т.е. свойство монотонности выполняется. Это означает, что при увеличении основных фондов K = 640 000 руб. на 1 руб. при той же стоимости заработной платы L = 810 000 руб., выпуск продукции Y увеличивается примерно на

Тогда при увеличении стоимости основных фондов на ΔK = 1000 руб. при той же стоимости фонда заработной платы, выпуск продукции Y увеличивается примерно на

Найдем точное значение стоимости выпуска продукции Y при тех же условиях:

Следовательно, точное увеличение стоимости выпуска продукции Y составит 18 742,7 руб.

Предельная производительность труда положительна

т.е. свойство монотонности выполняется. Это означает, что при увеличении фонда заработной платы L = 810 000 руб. на 1 руб. при той же стоимости основных фондов K = 640 000 руб., выпуск продукции Y увеличивается примерно на

Тогда при увеличении фонда заработной платы на ΔL = 1000 руб. при той же стоимости основных фондов, выпуск продукции Y увеличивается примерно на

Для сравнения найдем точное значение стоимости выпуска продукции Y при тех же условиях:

Следовательно, точное увеличение стоимости выпуска продукции Y составит 7 404 руб.∎

Вогнутость и однородность производственной функции

Производственная функция удовлетворяет свойству вогнутости, если справедливо

(5.1.10)

для любых

Если производственная функция дважды дифференцируема по всем аргументам, то свойство вогнутости означает, что ее частные производные второго порядка являются отрицательными

_(5.1.11)

Экономически это условие означает, что увеличение затрат одного ресурса при постоянных затратах остальных приводит к уменьшению прироста выпуска (закон убывающей отдачи).

Пример 5.1.4

Проверим свойство вогнутости для мультипликативной функции

Неравенство

экономически означает, что с ростом затрат труда (численности работающих) при неизменных фондах предельная производительность труда падает.

Неравенство

экономически означает, что с ростом затрат капитала при неизменных трудовых затратах предельная производительность капитала падает.∎

Однородность степени λ производственной функции означает, что для любого λ > 0 выполняется равенство

f(λ x₁, λx₂)= λ^f(x₁, x₂) (5.1.12)

т.е. одновременное изменение всех затрат ресурсов в λ раз приводит к изменению выпуска в λ^α раз. Например, при λ = 2, α = 1 однородность степени 2 означает, что

т.е. при увеличении обоих ресурсов в 2 раза выпуск продукции увеличивается в 2 раза. Например, при λ = 1/2, α = 1 однородность степени 1/2 означает, что

т.е. при уменьшении обоих ресурсов в 2 раза выпуск продукции уменьшается в 2 раза. Параметр λ отражает масштаб изменения производства. Если λ > 1, то производство расширяется, если λ < 1, то производство сужается. Если производство расширяется т.е. λ > 1, то параметр α отражает эффективность от расширения производства. Если число α > 1, то одновременное увеличение всех затрат в λ раз приводит к возрастанию выпуска в λ^α раз т.е. эффект от расширения производства положителен. Если число α < 1, то одновременное увеличение всех затрат в λ раз приводит к убыванию выпуска в λ^α раз эффект от расширения производства отрицателен. Если α = 1, то равенство

f(λ x₁, λx₂)= λ^f(x₁, x₂)

означает, что выпуск возрастает в той же пропорции, что затраты.