Пример 6.4.2

Допустим, что в примере 6.3.2 цена первого товара возрастает на 1 денежную единицу. Найти изменения спроса на первый и второй товары.

Найдем частные производные от функций спроса по цене первого товара p₁

Из первого равенства следует, что при любой цене первого товара p₁ производная отрицательна, т.е. товар нормальный. Изменения спроса на первый товар равен частной производной, вычисленной при p₁ = 8, M = 32 , т.е. спрос на первый товар уменьшится на 0,25 и составит единиц.

Из второго равенства следует, что изменение цены первого товара не изменяет спрос на второй товар, т.е. . Таким образом, при возрастании цены первого товара на 1 денежную единицу точка оптимального спроса =(1.75, 4) т.е. потребитель приобретает единиц первого товара и единицы второго товара.Полезность этого набора товаров составит единиц.

Вопросы для самопроверки

1. Как вычисляется изменение спроса при изменении дохода на единицу?

2) Дайте определение ценного товара.

3) Дайте определение малоценного товара.

4) Как вычисляется изменение спроса при изменении цены товара на единицу?

5) Дайте определение нормального товара и товара Гиффина.

6.5. Уравнение Слуцкого

Изучаемые вопросы:

• Изменение спроса при изменении цены товара с компенсацией.

• Графическая иллюстрация уравнения Слуцкого.

• Следствия из уравнения Слуцкого.

Изменение спроса при изменении цены товара с компенсацией.

Пусть цена на товар k изменилась на величину, а цены на другой товар не изменились. Чтобы полезность нового оптимального спроса остава-лась прежней, нужно одновременно с изменением цены изменить доход на величину .Такое одновременное изменение цены и дохода называют компенсированным изменением цены товара k. Обозначим изменения спроса на товарi с компенсацией, если цена товара k возросла на 1 денежную единицу.

Уравнение Слуцкого

(6.5.1)

связывает изменение спроса с компенсацией и без нее.

Графическая иллюстрация уравнения Слуцкого.

Пусть – цены первого и второго товаров иM – доход потребителя.

Уравнение бюджетной линии

определяет все наборы товаров, стоимость которых равна доходу M. На плоскости оптимальный спрос является точкой A касания бюджетной линии кривой безразличия u(x₁, x₂) = C. Пусть цена первого товара p₁ возрас-тает на величину dp₁ т.е. его новая цена ,а цена второго товара и доход не изменяются. Тогда новая бюджетная линия имеет общую точку на осиOx₂, а точка ее пересечения с осью Ox₁ смещена влево. На плоскости оптимальный спрос является точкой С касания этой бюджетной линии кривой безразличия.

Вектор АС означает изменение спроса, вызванное изменением цены первого товара. Пусть теперь возрастание цены первого товара компенсируется возрастанием дохода на величину dM. Соответствующая бюджетная линия

будет параллельна новой бюджетной линии (пунктирная прямая). При этом величину дохода dM выбирают так, чтобы оптимальный спрос (точка B ) имел бы ту же полезность, что и спроc без изменений цены и дохода (точка A). Графически это означает, что точки A и B лежат на одной кривой безразличия. Изменение спроса, вызванное одновременным возрастанием цены и дохода, графически изображается вектором AB.Из правила сложения векторов следует равенство

AC=AB+BC.

Можно показать, что

Тогда векторное равенство, записанное в координатах, означает уравнение Слуцкого

(6.6.2)

Следствия из уравнения Слуцкого

Следствие 1. При компенсированном изменении цены товара спрос на него падает

(6.5.3)

Два товара i и k называются взаимозаменяемыми, если выполняется условие , т.е. компенсированное возрастание цены одного товара приводитк уменьшению спроса на этот товар и увеличению спроса на другой товар.

Два товара i и k называются взаимодополняемыми, если выполняется условие , т.е. компенсированное возрастание цены одного товара приводитк одновременному уменьшению спроса на оба товара.

Следствие 2. Из уравнения Слуцкого следует, что каждому товару соответствует, по крайней мере, один товар, с которым он взаимозаменяем. В частности, два товара всегда взаимозаменяемы.