Пример 5.4.1

Допустим, что выпуск продукции Yзависит от затрат трудаKи основных фондовL

Пусть цены единицы выпускаемой продукции равна p рублей, стоимость аренды единицы фондов составляет w_K рублей, средняя ставка заработной платы равна w_L рублей.

• Найти функцию предложения и функции спроса на ресурсы.

• Определить ценность ресурсов.

Решение.

• Найдем частные производные

Система уравнений (5.4.1) для оптимальных затрат ресурсов имеет вид

(5.4.3)

Поделив второе уравнение на первое, получаем, что норма замена основных фондов трудом равна отношению цен ресурсов

.

_Отсюда

(5.4.4)

Тогда первое уравнение (5.4.3) имеет вид

Отсюда находим функцию спроса на основные фонды

(5.4.5)

Из соотношения (5.4.4) находим функцию спроса на труд

(5.4.6)

Подставляя функции спроса (5.4.5) и (5.4.6) в производственную функцию

находим функцию предложения

(5.4.7)

Функции спроса и предложения определяют зависимость издержек производства и выпуск продукции от цен на ресурсы и цены на продукцию.

1. Найдем частные производные по цене p от функций спроса и предложения:

Из этих формул следует, что:

• Предложение продукции возрастает с ростом ее цены p.

• Основные фонды и численность работников возрастают с ростом цены на продукцию p т.е. оба ресурса являются ценными.

2. Найдем частные производные от функций спроса по ценам за ресурсы w_K и w_L:

• Спрос на основные фонды падает с ростом стоимости арендной платы w_K т.к. частная производная .Это означает, чтоосновные фонды является нормальным ресурсом.

• Спрос на фонд труда (численность работников) падает с ростом стоимос-ти средней заработной платы w_L т.к. частная производная .Это озна-чает, чтофонд труда является нормальным ресурсом.

• Основные фонды и численность работников падают одновременно с увеличение цены, хотя бы одного из ресурсов, т.к.

.

Это означает, чтофонд труда и численность работников является взаимнодополняемыми ресурсами.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте задачу о максимуме прибыли.

2. Запишите необходимые и достаточные условия решения задачи о максимуме прибыли.

3. Как связаны норма замены в оптимальной точке с ценами на ресурсы.

4. Дайте определения ценного и малоценного ресурсов.

5. Дайте определение нормального ресурса.

6. Какие ресурсы называются взаимозаменяемыми и взаимодополняемыми?

Раздел 6. Модели потребителького спроса

6.1. Функции полезности

Изучаемые вопросы:

• Предпочтения потребителя при выборе товаров.

• Функции полезности.

• Свойства функции полезности.

Предпочтения потребителя при выборе товаров.

Рассмотрим общие требования, предъявляемые к функциям, которые описывают экономические отношения между спросом и предложением.

Под товаром будем понимать некоторую услугу, поступающую в продажу в определенное время и в определенном месте. Предположим, что количество каждого товара можно измерить неотрицательным числом (в штуках, кг., и т.д.).

Пусть n обозначает общее число наличных товаров, а x_i – количество приобретаемого товара i, x_i ≥ 0.

Вектор

X=(x₁ , …, x_n)

будем называть потребительским набором товаров.

Потребитель стремится выбрать ″лучший″ с его точки зрения набор товаров. Чтобы его определить, он должен уметь попарно сравнивает наборы товаров, определяя, какой из них для него предпочтительнее. Выражение «набор товаров X предпочтительнее набора товаров Y» будем записывать

.

Эта запись означает:

либо набор товаров X строго предпочтительнее набора Y:

либо эти наборы товаров для него безразличны:

Отношение предпочтения должно удовлетворять следующим основным аксиомам:

I) рефлексивность: для любого X X ;

II) транзитивность: для любых X, Y, Z таких, что , cраведливо . (6.1.1)

Функции полезности

Функция полезности потребителя строится с учетом его отношения предпочтения. Введение функции полезности позволяет заменить отношение предпочтения привычным отношениеммежду числами. Пусть потребитель некоторым образом определил отношение предпочтения .

Функцией полезности называется любая числовая функция u, которая каждому набору товаров X сопоставляет его полезность u(X) и удовлетворяет свойству

u(X) ≥ u(Y) тогда и только тогда, когда (6.1.2)

Это свойство означает, что строго предпочтительный набор товаров имеет большую полезность:

u(X) > u(Y), тогда и только тогда, когда ,

и безразличные для потребителя наборы имеют равные полезности:

u(X) = u(Y), тогда и только тогда, когда .

Приведем примеры функций полезности.

1. Линейная функция полезности для набора из двух товаров имеет вид

(6.1.3)