Пример задания 4

Функция полезности потребителя имеет вид

b₁=1/2, b₂=1/4 – коэффициенты эластичности товаров, a₁=10, a₂=20 – минималь-ное количество приобретаемых товаров.

4. Найти равновесный спрос и его полезность, если рыночная цена первого товара p₁ = 4, рыночная цена второго товара p₂ = 2 и потребитель выделяет на приобретения товаров сумму M = 200 денежных единиц.

5. Найти функции спроса на оба вида товаров.

6. Найти спрос оба товара при увеличении дохода на 30 денежных единиц и при уменьшении дохода на 60 денежных единиц.

1. Вычислим равновесный спрос при заданных ценах и доходе

Найдем стоимость минимального набора товаров

Оставшаяся сумма денег

распределяется пропорционально коэффициентам эластичности этих товаров

На приобретение 1-го товара выделяется сумма

а на приобретение 2-го товара – сумма

.

Поделив выделенные средства на рыночные цены товаров, получаем количество товара, приобретаемое сверх установленных нормативов

Таким образом, оптимальный спрос составит

единиц первого товара и

единиц второго товара. Полезность равновесного набора будет равна

2) Найдем функции спроса, заменяя в формулах спроса a₁=10, a₂ = 20,

Эти формулы определяют спрос на продукцию при любых ценах и доходах.

3. Оценим влияние на спрос изменения дохода обоих товаров. Найдем реакцию спроса на изменение дохода на 1 денежную единицу. Частные производные по доходу M показывают изменение спроса на первый и второй товары соответственно при возрастании дохода на 1 денежную единицу. Дифференцируя полученные выше функции спроса по M , получаем

,.

Вычислим эти частные производные при заданных ценах p₁=4, p₂=2:

Так как значения частных производных положительные, то оба товара являются ценными: с ростом дохода на 1 денежную единицу спрос на оба товара растет: спрос на первый и второй товары увеличится на .

При увеличении дохода потребителя на 30 денежных единиц спрос на оба товара увеличится на 5 единиц и составит

,

единиц первого и второго товара соответственно.

При уменьшении дохода потребителя на 60 денежных единиц спрос на оба товара снизится на 10 единиц и составит

,

единиц первого и второго товара соответственно.

4.2. Тесты текущего контроля (по разделам) Тест № 1

1. Для производства двух видов продукции фирма использует для производства два вида ресурсов: ресурс 1 – сырье, ресурс 2 – время изготовления продукции на оборудовании. Запасы ресурсов на день, нормы затрат каждого ресурса на единицу каждого продукта и рыночные цены заданы в табл. 1

Таблица 1

Ресурс	Нормы затрат на ед. продукции		Запас ресурса
	продукт 1	продукт 2
сырье	a11 =5	a12 =10	b1=1000
время изготовления	a21 =0,1	a22 =0,3	b2=25
цена за ед. продукции	c1=40	c2 =100

Пусть x₁=10 – план выпуска продукции 1, x₂ =10 - план выпуска продукции. Найти затраты на производство обоих ресурсов.

1. 150 кг сырья и 4 часа работы оборудования;

2. 51 кг сырья и 13 часов работы оборудования;

3. 500 кг сырья и 4 часа работы оборудования.

1. Условие задачи в вопросе 1. Найти остатки ресурсов.

4. 850 кг сырья и 21 час работы оборудования;

5. 949 кг сырья и 12 часов работы оборудования;

6. 500 кг сырья и 21 часов работы оборудования.

2. Исходя из полученных результатов в вопросе 1 и 2 сделать вывод, является ли такой план выпуска допустимым.

7. Такой план выпуска является недопустимым;

8. Такой план выпуска является допустимым.

3. Найти выручку от реализации этого плана

9. 1200; В. 1234 С. 1400

4. Исходя из условия задачи в вопросе 1, оцените прибыльность производств в теневых ценах y₁=2, y₂ =5.

10. Производства обоих продуктов прибыльны, следовательно, данные теневые цены будут допустимым решением двойственной задачи;

11. Производства обоих продуктов прибыльны, следовательно, данные теневые цены не будут допустимым решением двойственной задачи;

12. Производство первого продукта неприбыльно, следовательно, данные теневые цены не будут допустимым решением двойственной задачи.

5. Найти базисное решение задачи, параметры которой даны в вопросе 1 (план выпуска продукции не задан) при условии, что свободными переменными являются x₂ – количество продукта 2 и s₁ – остаток ресурса 1.

13. x₁=0, x₂=200, s₁=5, s₂=0;

14. x₁=200, x₂= 0, s₁=0, s₂=5;

15. x₁=0, x₂=83, s₁=170, s₂=0.

6. Найти выручку для задачи в вопросе 6.

16. 20000 В. 8000 С. 8300

7. Найти теневые цены к базисному решению задачи вопроса 6 и оценить их допустимость.

17. y₁ =8, y₂ =0 не являются допустимыми;

18. y₁ =0, y₂ =333 не являются допустимыми;

19. y₁ =8, y₂ =333 являются допустимыми.

8. Исходя из полученных теневых цен в вопросе 8 и выручки, рассчитанной в вопросе 7, определить отношение между стоимостью ресурсов в теневых ценах и выручкой от реализации продукции.

20. Стоимость ресурсов выше выручки от реализации;

21. Стоимость ресурсов ниже выручки от реализации;

22. Стоимость ресурсов равна выручке от реализации.