- •Mатематика, ч.2 методы оптимизации
- •1. Информация о дисциплине
- •1.1. Предисловие
- •1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы
- •1.2.1. Объем дисциплины и виды учебной работы
- •1.2.2. Перечень видов практических занятий и контроля:
- •2.2.2. Тематический план дисциплины
- •2.2.3. Тематический план дисциплины
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •2.4. Временной график изучения дисциплины
- •2.5. Практический блок
- •2.5.1. Практические занятия
- •2.5.1.1. Практические занятия (очная/очно-заочная формы обучения)
- •2.5.1.2. Практические занятия (заочная формы обучения)
- •2.5.2. Лабораторные работы (для всех форм обучения)
- •Балльно-рейтинговая система
- •3. Информационные ресурсы дисциплины
- •3.1. Библиографический список
- •3.2. Опорный конспект лекций введение
- •Раздел 1. Линейное программирование. Основные понятия
- •Стандартная и каноническая формы задачи линейного программирования
- •Пример 1.1.1
- •Пример 1.1.2
- •Пример 1.1.3
- •1.2. Двойственная задача
- •Пример 1.2.1
- •1.3. Базисные решения.
- •Пример 1.3.1
- •Раздел 2. Решение прямой задачи линейного программирования симплекс-методом
- •2.1. Теоремы двойственности. Алгоритм симплекс-метода
- •Пример 2.1.1
- •2.2. Анализ оптимальной симплекс-таблицы
- •2.3. Интервалы устойчивости. Ценность ресурсов
- •Пример 2.3.1
- •Пример 2.3.2
- •Пример 2.3.3
- •Раздел 3. Решение транспортной задачи. Матричные игры
- •3.1. Математическая постановка транспортной задачи
- •Пример 3.1.1
- •3.2. Матричные игры. Основные понятия
- •Пример 3.2.1
- •3.3. Решение матричных игр в смешанных стратегиях
- •Пример 3.3.1
- •3.4. Решение матричных игр симплекс-методом
- •Пример 4.3.1
- •Раздел 4. Целочисленное и нелинейное программирование
- •4.1. Задача о назначениях
- •Пример 4.1.1
- •4.2. Нелинейное программирование
- •Пример 4.2.1
- •Раздел 5. Производственные функции
- •5.1. Свойства производственных функций
- •Примеры производственных функций.
- •Пример 5.1.1
- •Пример 5.1.2
- •Пример 5.1.3
- •Пример 5.1.4
- •Пример 5.1.5
- •5.2. Характеристики производственных функций
- •Пример 5.2.1
- •Пример 5.2.2
- •Пример 5.2.3
- •5.3. Модель фирмы
- •Пример 5.3.1
- •Геометрическая иллюстрация оптимального решения
- •5.4. Функции спроса на ресурсы и функция предложения продукции
- •Пример 5.4.1
- •Вопросы для самопроверки
- •Раздел 6. Модели потребителького спроса
- •6.1. Функции полезности
- •2. Неоклассическая мультипликативная функция
- •3. Логарифмическая функция
- •Пример 6.1.1
- •Пример 6.1.2
- •Пример 6.1.3
- •6.2. Кривые безразличия
- •Пример 6.2.1
- •Пример 6.2.2
- •Пример 6.2.3
- •Вопросы для самопроверки
- •6.3. Задача потребительского выбора
- •Пример 6.3.1
- •Пример 6.3.2
- •Вопросы для самопроверки
- •6.4. Влияние на спрос цен товаров и дохода потребителя.
- •Пример 6.4.1
- •Пример 6.4.2
- •Вопросы для самопроверки
- •6.5. Уравнение Слуцкого
- •Пример 6.5.3
- •3.3. Технические и программные средства обеспечения дисциплины
- •Порядок выполнения работы
- •3.1. Выполнение задания 1
- •Пример 1.1.1
- •Решение
- •3.3.1. Построение начального базисного плана
- •3.2. Выполнение задания 2
- •Работа 2. Решение транспортной задачи и матричной игры
- •1. Цель работы
- •2. Основные теоретические положения
- •Порядок выполнения работы
- •3.1. Выполнение задания 1
- •Решение
- •3.1.1. Заполнение исходных данных
- •3.2. Выполнение задания 2 Пример
- •Решение
- •3.5. Глоссарий
- •4. Блок контроля освоения дисциплины
- •4.1. Методические указания к выполнению контрольной работы
- •4.1.1. Задание на контрольную работу
- •Варианты заданий 1 и 2
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •4.1.2. Методические указания к выполнению контрольной работы Пример задания 1
- •Записать стандартную и каноническую формы
- •Графическое решение задачи
- •Пример задания 2. Двойственная задача
- •Найти оптимальное решение двойственной задачи
- •Пример задания 3
- •Решение
- •Пример задания 4
- •1. Вычислим равновесный спрос при заданных ценах и доходе
- •4.2. Тесты текущего контроля (по разделам) Тест № 1
- •Тест № 2
- •Тест № 3
- •Тест № 4
- •Тест № 5
- •Тест № 6
- •4.3. Итоговый тест
- •4.4. Вопросы к экзамену
- •Содержание
Пример 5.2.3
Допустим, что стоимость выпуска продукции Yзависит от стоимости затрат трудаKи основных фондовL
Пусть стоимость основных фондов равна K = 640 000 = 82 1002 руб., а стоимость фонда заработной платы – L = 810 000 = 34 104 руб. По формуле (5.2.6) при 1 = 1/2, 2 = 1/4 предельная норма замены труда основными фондами равна
Это означает, что уменьшение фонда заработной платы на 1 руб. приводит к увеличению стоимости основных фондов приблизительно на 0,3951 руб. Уменьшение фонда заработной платы на 10 000 руб. (ΔL = -10 000) по формуле (5.2.8) приводит к увеличению стоимости основных фондов приблизительно
Δ K - RLK ∙Δ L=-0.3951*10 000=3 951 руб.
Сравните с точным значением ΔK = 643 857 – 640 000 = 3 857руб., вычис-ленным в примере 5.2.2.
Вопросы для самопроверки
Дайте определение коэффициента эластичности выпуска по первому ресурсу.
Запишите уравнение изокванты производственной функцией.
Дайте определение предельной нормы замены первого ресурса вторым.
Запишите формулу для предельной нормы замены труда основными фондами.
Запишите формулу для предельной нормы замены основных фондов трудом.
5.3. Модель фирмы
Изучаемые вопросы:
Задача на максимум выпуска продукции.
Геометрической иллюстрации оптимального решения.
Задача на максимум прибыли.
Функции спроса на ресурсы и функция предложения продукции.
Задача на максимум выпуска продукции
Предположим, что фирма производит один вид продукции и технология его производства требует использования двух видов ресурсов. Технологическая связь между затратами ресурсов и выпуском продукции описывается производственной функцией
Обозначим через
p – цену единицы выпускаемой продукции;
w1 – цену единицы первого ресурса;
w2 – цену единицы второго ресурса.
Например, если xk – число занятых в производстве работников, то wk – сред-няя заработная плата одного работника. Если xk – сырье, то wk – цена единицы сырья. Если xk – производственные фонды, то wk – арендная плата за единицу фондов.
Выражение определяет стоимость выпуска продукции, а выражение –– стоимость ресурсов (издержек производства).
Задача максимального выпуска продукции при заданном объеме издержек имеет вид:
найти объемы ресурсов , которые обеспечивают максимум выпуска продукции
(5.3.1)
при ограничениях
(5.3.2)
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 (5.3.3)
Величина C определяет верхнее значение стоимости издержек.
Эта задача является задачей нелинейного программирования. Для ее решения построим функцию Лагранжа
(5.3.4)
Если в оптимальном решении должны использоваться все ресурсыx1 > 0, x2 > 0, то необходимые и достаточные условия оптимальности имеют вид
(5.3.5)
Отсюда следует, что оптимальное распределение ресурсов и множи-тель Лагранжа λ* являются решением системы уравнений
(5.3.6)
Заметим, что предельная норма замены первого ресурса вторым равна
Поделив первое уравнение системы уравнений (7.3.6) на второе, получим
(5.3.7)
т.е. в точке оптимального распределения ресурсов предельная норма замены первого ресурса вторым равна отношению их рыночных цен.