Пример 5.3.1

Выпуск продукции задается производственной функцией Кобба-Дугласа

где Y выпуск продукции, K производственные фонды, L – затраты труда.

Пусть на аренду фондов и оплату труда выделена денежная сумма C = 300 000 рублей, стоимость аренды единицы фондов составляет w_K =1 000 рублей, средняя ставка заработной платы равна w_L = 15 000 рублей. Требуется определить максимальный выпуск.

Решение. Найдем частные производные

Система уравнений (7.3.6) для оптимальных затрат ресурсов имеет вид

Поделив второе уравнение на первое, получаем, что норма замена основных фондов трудом равна

,

т.е. 15 единиц основных фондов заменяет одного работника

K = 15 L

Из равенства 1 000 K + 15 000 L = 300 000.

Находим

30 000 L = 300 000,

L^* = 10, K^* = 150.

Максимальный выпуск продукции равен

при численности работников 10 человек и основных фондах 150 единиц.

Геометрическая иллюстрация оптимального решения

Для геометрической иллюстрации оптимального решения используются геометрические понятия изокванты и изокостn.

Изокостой называется совокупность всех векторов затрат ресурсов , использование которых в производстве приводит к одинаковым издержкамC т.е.

При различных значенияхC изокосты образуют параллельные прямые на плоскости. Можно доказать, что в точке оптимальных затрат ресурсов угол наклона изокванты равен углу наклона изокосты.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Сформулируйте задачу о максимуме выпуска продукции.

2. Запишите необходимые и достаточные условия решения задачи о максимуме выпуска продукции.

3. Как связаны норма замены в оптимальной точке с ценами на ресурсы.

1. Дайте определения изокосты.

2. Приведите геометрическую иллюстрацию задачи о максимуме выпуска продукции.

5.4. Функции спроса на ресурсы и функция предложения продукции

Изучаемые вопросы:

• Задача на максимум прибыли.

• Функции спроса на ресурсы и функция предложения продукции. Классификация типов ресурсов.

Задача на максимум прибыли

Пусть эффект производства определяется разностью между стоимостью выпуска продукции и стоимостью ресурсов (издержек производства)

.

Если величина Z положительна, то производство приносит прибыль, в противном случае – убыток. Будем предполагать, что фирма работает в стабильных условиях и ее поведение определяется стремлением к максимальной прибыли.

В задаче максимальной прибыли требуется найти объемы ресурсов , которые обеспечивают максимальную прибыль

(5.4.1)

при ограничениях

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0.

Это задача нелинейного программирования, для которой функция Лагранжа имеет вид

,

где λ_k ≥ 0 – множители Лагранжа.

Если в оптимальном решении должны использоваться все ресурсы, т.е.x₁ > 0, x₂ > 0, то необходимые и достаточные условия оптимальности имеют вид

Отсюда следует, что оптимальное распределение ресурсов

является решением системы уравнений

(5.4.2)

Из этой системы уравнений следует

(5.4.3)

т.е. в точке оптимального распределения ресурсов предельная норма замены первого ресурса вторым равна отношению их рыночных цен.

Функции спроса на ресурсы и функция предложения продукции.

Из системы уравнений (5.4.1) можно найти оптимальное распределение ресурсов как функции от цены выпускаемой продукции p и цен на ресурсы w₁, w₂

Они называются функциями спроса на ресурсы. Если функции спроса подставить в производственную функцию, то выпуск продукции будет функцией цены выпускаемой продукцииpи цен на ресурсы w₁,w₂

Эта функция называется функцией предложения

Классификация типов ресурсов

С помощью производных от функций спроса и предложения можно исследовать их чувствительность к изменениям цен. Предположим, что функции спроса и предложения дифференцируемы по ценам на ресурсы на продукцию.

Чувствительность функций спроса и предложения на изменение цены на готовую продукцию p определяют их частные производные по p.

Частная производная предложения показывает, на сколько изменяется выпуск продукции (предложение) при изменении цены на готовую продукцию на 1 руб.

Из теории производства следует, что повышение цены p на выпускаемую продукцию всегда приводит к увеличению объема выпуска т.е. кривая предложения продукции возрастает с ростом цены на эту продукцию.

Частная производная показывает, на сколько изменяется спрос на первый ресурс при изменении цены на готовую продукцию на 1 руб.

Частная производная показывает, на сколько изменяется спрос на второй ресурс при изменении цены на готовую продукцию на 1 руб.

Ресурс k называется ценным, если выполняется условие

.

Ресурс k называется малоценным, если выполняется условие

Это означает, что повышение цены p на выпускаемую продукцию приводит к увеличению ценного ресурса и к уменьшению малоценного ресурса. Кривые спроса на ценные ресурсы возрастают с ростом цены на продукцию, а на малоценные ресурсы падают.

Чувствительность функций спроса и предложения на изменение цен на ресурсы определяют их частные производные:

показывают, на сколько единиц изменяется спрос на первый ресурс при изменении цены этого ресурса на 1 руб.,

показывают, на сколько единиц изменяется спрос на второй ресурс при изменении цены этого ресурса на 1 руб.

Ресурса k называется нормальным, если производная т.е. при возрастании цены на ресурс спрос на него падает.

Из теории производства следует, что все ресурсы являются нормальными т.е. кривые спроса на ресурс падают с ростом их цен.

Каждый ресурс попадает в одну из следующих категорий.

• Нормальный и ценный: ,.

• Нормальный и малоценный : ,.

Два ресурса называются взаимнозаменяемыми, если выполняются условия

т.е. увеличение цены одного ресурса приводит к возрастанию спроса другого ресурса.

Два ресурса называются взаимнодополняемыми, если выполняются условия

,

т.е. увеличение цены одного ресурса приводит к одновременному падению спроса на оба ресурса.