Математика для инженеров(практика) I часть

n
= å(−1)i+1ai1Mi1 .	(7)

i=1

20. Свойства определителей:

1)величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами;

2)при перестановке двух строк или двух столбцов знак определителя меняется на противоположный;

3)если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковых строки, то он равен нулю;

4)общий множитель всех элементов одного столбца или одной строки можно вынести за знак определителя;

5)если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то и сам определитель равен нулю;

6)если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю;

7) пусть каждый элемент i-ой строки (или j-ого столбца) определителя есть сумма двух чисел. Тогда равен сумме двух определителей, из которых один в i-ой строке (или j-ом столбце) имеет первые слагаемые, а другой – вторые слагаемые суммы; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же; 8) определитель не изменится, если к элементам некоторого столбца

(строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель λ ;

9) для каждого определителя			порядка n, n ³ 2 , имеет место разложение
по произвольной строке:
n
= å(−1)i+ j aij Mij ,i =										,		(8)
								1, n
j=1
или по произвольному столбцу:
n
= å(−1)i+ j aij Mij , j =											.	(9)
									1, n
i=1
Формулы (8), (9) называются формулами Лапласа.												j =1
Отметим, что при i =1 формула (8) превращается в формулу (6), а при
формула (9) совпадает с формулой (7).
Пример 3. Вычислить					−2
		2	0	5
		6	1	−1	0		.
		0	2	−2	3
		1	1	−4	0

Решение. Выберем строку или столбец, в котором содержится больше всего нулей (если нулей нет, то выбирают любую строку или

11

столбец). В нашем случае это четвертый столбец. Разложим этот определитель, согласно формуле (9), по четвертому столбцу и вычислим определители, используя формулу (4). Получим

		2	0		5	-2														6	1			-1									2	0	5
		6 1 -1 0											(-1)1+4			×(-2) ×											+ (-1)2+4			×0 ×
												=								0 2				-2									0 2		-2	+
		0	2		-2	3														1	1			-4									1	1	-4
		1	1		-4	0
																																		-1
+(-1)3+4 ×3×								2		0			5		+ (-1)4+4 ×0×								2	0			5		= 2×		6	1
								6 1					-1										6 1				-1				0 2			-2	-
								1 1					-4										0 2				-2				1 1			-4
-3×				2	0	5				= 2(-48 + 0 - 2 + 2 - 0 +12)																	- 3(-8 + 0 + 30 - 5 - 0 + 2) =
				6	1	-1
				1	1	-4
	= 2 ×(-36) - 3×19 = -129. □
Пример 4. Для определителя																			2		0			1			проиллюстрировать
																			-3		1			5
																			7		2			-2
свойство 2).
Решение. По формуле (3)
										2			0	1			= -4 + 0				- 6 - 7 - 0 - 20 = -37 .
									-3 1 5
										7			2	-2

Строки исходного определителя запишем в виде столбцов и получим определитель

	2	-3	7		= -4 + 0 - 6 - 7 - 0 - 20 = -37 .
	0	1	2
	1	5	-2

Таким образом, величина определителя не изменилась при замене местами его строк и столбцов. □

Пример 5. Вычислить

3	-1	1	1
-2	3	0	1	.
-1	-2	4	0
1	0	2	3

Решение. В данном определителе поменяем местами первую и последнюю строки. Тогда, по свойству 2), перед определителем поставим знак “–“:

12

											3			-1			1	1							1			0		2			3
											-2 3						0 1				= -				-2 3 0 1												.
											-1			-2			4 0								-1			-2 4 0
											1			0			2	3							3			-1		1			1
По свойству 8) умножим первую строку на 2 и сложим со второй;
первую строку сложим с третьей; первую строку умножим на (–3) и
сложим с четвертой. Получим
													1	0			2	3									1	0		2			3
							-						-2 3 0 1								= -						0 3			4			7						.
													-1	-2 4 0													0	-2 6 3
													3	-1 1 1													0	-1		-5			-8
По формуле (9) разложим определитель по элементам первого
столбца:
		1	0	2			3											3			4							7													0	2			3
		0 3		4			7		= -(-1)1+1								×1×												- (-1)2+1 ×											0 ×
-																		-2 6										3													-2 6				3	+
		0	-2	6			3											-1 -5 -8																							-1 -5 -8
		0	-1	-5			-8
-(-1)3+1				×0 ×		0	2							3		- (-1)4+1					×0 ×		0					2		3					3					4		7		.
						3	4							7									3 4 7									= -			-2 6							3
						-1	-5							-8									-2 6 3												-1					-5		-8

По свойству 4) из последней строки вынесем (–1) за знак определителя. Поменяем местами, согласно свойству 2), первую и третью строки определителя местами и вычислим его, раскладывая по элементам первого столбца:

3	4	7		3	4	7		1	5	8		1	5	8
-2 6		3	=	-2	6	3	= -	-2 6		3	= -	0	16 19		=
-1	-5	-8		1	5	8		3	4	7		0	-11	-17

= -(-1)1+1 ×1×				16					19	- (-1)2+1				×0 ×		5		8		- (-1)3+1 ×0 ×	5	8	=
				-11					-17							-11		-17			16	19
= -		16	19			=		16	19		=16×17 -11				×19 = 63. □
		-11	-17					11	17
Пример 6. Для определителя													1	3		5		проиллюстрировать
													2	6		-1
													0	0		0

свойство 5).

Решение. По формуле (8) разложим определитель по элементам третьей строки:

13

1	3	5	= (-1)3+1 ×0×		3	5		+ (-1)3+2 ×0 ×		1	5		+ (-1)3+3 ×0×		1	3		= 0 .
2	6	-1
0	0	0			6	-1				2	-1				2	6

Таким образом, получили, как и утверждается в свойстве 5), что определитель равен нулю. □

3 1 -1

Пример 7. Вычислить 6 2 5 . 6 2 5

Решение. В данном определителе вторая и третья строки одинаковы. Применим свойство 3).

Вычтем из элементов третьей строки элементы второй. Получим

	3	1	-1		.
	6	2	5
	0	0	0

По свойству 5) этот определитель равен 0. □ Пример 8. Вычислить

	2	-1	3
	7	2	-6		.
	1	3	-9

Решение. Здесь второй и третий столбцы пропорциональны. Применим свойство 6).

Умножим второй столбец на 3 и сложим с третьим. Получим

	2	-1	3				2	-1	0
	7	2	-6		=		7	2	0		.
	1	3	-9				1	3	0

По свойству 5) этот определитель, как утверждается в свойстве 6), равен нулю. □

Пример 9. Вычислить

2	1	-3	0
4	-3	0	1	.
-1	2	-5	0
3	0	-1	3

Решение. Поменяем местами, с учетом свойства 2), первый и второй столбец. Получим

14

2	1	-3	0				1	2	-3	0
4	-3 0		1		= -		-3 4		0 1			.
-1 2		-5	0				2	-1	-5	0
3	0	-1	3				0	3	-1	3

По свойству 8) умножим первую строку на 3 и сложим со второй; первую строку умножим на –2 и сложим с третьей:

		1	2	-3	0				1	2	-3	0
-		-3 4		0 1			= -		0	10	-9	1		.
		2	-1	-5	0				0	-5 1 0
		0	3	-1	3				0	3	-1	3

Поменяем местами, с учетом свойства 2), второй и четвертый столбец. Получим

		1	2	-3	0				1	0	-3	2
-		0	10	-9	1		=		0	1	-9	10		.
		0	-5	1	0				0	0	1	-5
		0	3	-1	3				0	3	-1	3

По свойству 8) умножим вторую строку на (–3) и сложим с четвертой:

	1	0	-3	2				1	0	-3	2
	0	1	-9	10		=		0	1	-9	10		.
	0	0	1	-5				0	0	1	-5
	0	3	-1	3				0	0	26	-27

Умножим третью строку на (–26) и сложим с четвертой:

	1	0	-3	2				1	0	-3	2
	0	1	-9	10		=		0	1	-9	10		.
	0	0	1	-5				0	0	1	-5
	0	3	-1	3				0	0	0	103

Используя результат примера 2, получим

	1	0	-3	2
	0	1	-9	10	=1×1×1×103 =103 . □
	0	0	1	-5
	0	0	0	103

Пример 10. Решить неравенство

2x	2	4x	> 0
1	x	2
4	2	6

Решение. Вычислим определитель по формуле (4):

2x	2	4x	=12x2 +16 + 8x -16x2 -12 - 8x = 4 - 4x2 .
1	x 2
4	2	6

15

Тогда, согласно условию, 4 - 4x2 > 0 или x2 -1< 0 . Решением полученного неравенства является интервал (−1;1) . □

40. Алгебраическое дополнение. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij

определителя n -го порядка называют число (-1)i+ j Mij , где Mij –минор элемента aij . Таким образом, алгебраическое дополнение элемента aij может отличаться от минора Mij только знаком.

Учитывая понятие алгебраического дополнения, перепишем формулы Лапласа (8), (9) так:

					n
					D = åaij Aij ,	(10)
					j=1
где i (i =	1, n		)		– номер строки;
					n
					D = åaij Aij ,	(11)
где j ( j =					i=1
		1, n		)	– номер столбца.

Приведем еще два свойства определителей.

10) Свойство замены. Сумма произведений произвольных n чисел

c1,c2 ,...,cn на алгебраические дополнения элементов i -ой строки ( i = 1, n ) матрицы A есть определитель матрицы A1 , которая получена из матрицы А заменой элементов i -ой строки на числа c1,c2 ,...,cn .

11) Свойство аннулирования определителя. Сумма произведений элементов одной из строк на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки равна нулю, т.е.

									ai1Ak1 + ai2 Ak 2 +...+ ain Akn = 0,						(12)
где i ¹ k	(i, k =					) .
			1, n
Пример 11. Найти алгебраические дополнения всех элементов
определителя					2		-1			5				.
					1		1			4
					-2		0			1
Решение. Алгебраическим дополнением элемента a11 = 2 является
число A		= (-1)1+1					×		1	4		=1, которое получается из данного
11									0	1

определителя вычеркиванием первой строки и первого столбца.

16

Аналогично, вычеркиванием из определителя первой строки и

второго столбца,																получаем A = (-1)1+2 ×																1						4		= -9 .
																						12										-2						1
A = (-1)1+3						×		1								1							= 2 , A = (-1)2+1			×		-1 5									=1,
13								-2								0						21						0		1
A = (-1)2+2 ×												2				5							=12 , A = (-1)2+3 ×									2 -1										= 2 ,
22												-2				1							23									-2						0
A = (-1)3+1						×		-1								5						= -9 , A = (-1)3+2 ×								2 5									= -3 ,
31								1								4						32								1					4
A = (-1)3+3						×				2 -1													= 3 . □
33										1						1
												Задания для самостоятельной работы
1. Вычислить определители третьего порядка:
1)				2	3	4								;								2)			-5	6				7				;				3)
				0 1		0																			1	-1 2
				3	1	-1																			2	-2				4
		-1			-2	-8									;
		2			4	6
		-1			0	1

4)		1		2			3				;			5)			-5 10 15											;	6)		1	-1 0					;
		-1 2					8										3			1		0									0	2 1
		1			6	14											-1			0		1									1	0	3
7)		8		9	10				;					8)			-1			2		6		;					9)		0	1	2		;
		5		3 2													7		5		3										1	0	3
		1		6	7												5			9		15									2	3	0
			6		-3		7											-2 3 -2
10)			5		-2		1						;	11)				-5		0		-1				;
			4		-1		-5											1		6		4

1 0 2

12) 4 3 2 . -1 4 -3

2. Вычислить определители четвертого порядка

17

	−2 3		5	−1		4	8	−5 2				−4 0		2 7
1)	0	1	−3	0	; 2)	2	−4	7	0	;	3)	1	−1	−1	2	;
	4	−2 3		1		1	1	2	0			5	6	−8	−3
	0	1	−2	0		3	−5	4	1			0	6	−5	2

	5 7			−2 2							2		3	4		5				0		1	−3		0
4)	11 4			−12 7				; 5)			−8 −7				−6	−5	; 6)			3		0	1		0	;
	0 3			−6 7							1		2		3	4				0		−2 4			−3
	0 5			0	2						−9 −8				−7	−6			−3 2				0		−1
	2	0	0		1				−1 0					1	3			6			−2 0			1
7)	0	1	0		3			; 8)	3			1		0	1	;	9)	0			13 0			−5	.
	0	−2		−3 0					−1 0					3	1			6			1	1		0
	0	1	2		0				0			1		0	3			3			5	0		−1

3.Пользуясь свойствами определителей, вычислить следующие определители:

	sin2	α	1	cos2 α
1)	sin2	β	1	cos2 β	;
	sin2 γ		1	cos2 γ

2)

a + b c

1

;

3)

x a α x + βa

;

b + c

a 1

y b

α y + βb

c + a

b

1

z c

α z + βc

																														x2 + a2 ax 1
		cos x		−sin x								a3 − b3												a
4)							; 5)																1					; 6)		y2 + a2					ay 1	;
		sin x		cos x										b																z2 + a2					az 1
																						−
																					a					b
7)		ctgx		−1		.
			2	tgx
4. Вычислить определители:																				−1 0 3 2
		0	0	1 0 1														1
1)		1	2	3 4 5						;				2)				2		−2 1 0 1												;
		1	0	3 0 1														−2		0				−1 3 1
		5	4	3	2		1											1		0			4				5		0
		1	0	−1 0 1														0		−2				−1				−3 1
		3	2	1	0		0											−1		0			2				−1		1				−2
																		0		1			2				−2		0				1
		0	3	2	1		0
																		−1		0			1				−1		0				0
3)		0	0	3	2		1	;				4)																						;
																		3		1 −1 2 −1													1
		1	0	0	3		2											0		1			0				1		0				0
		2	1	0	0		3
																		2		1			−1				2		0				1

18

		1	2	−1	−2 0							2	3	−1 0 −1
5)		0	0	1	−2 1					; 6)		1	−1 0 1 3						;
		−1 0		−2 1		0						2	−1 1			0	0
		0	−1 2 4 −1									3	2	0		−1 2
		0	2	−3	−1 0							3	2	0		−1 3
		0	1	−1 0		0						2 1			−1 0		2
7)		−1 0 1			−1 0					; 8)		−2 0			−2	−1 0					.
		1	−1 0		1	−1						1	−1 2			1	−1
		0	1	−1 0		1						−1 1			−1 0		1
		0	0	1	−1 0							1 0			2	−1 0

5. Определить, при каком значении параметра a уравнение

ax	2	4	= 0 имеет ровно один корень.
1	x	0

10 1

6.Решить уравнения:

1)

3x

2

3x+1

= −2x+1 ;

2)

1

x

1

= 3;

0

1

−1

1 0 x +1

2x

1

2x

2

2

−x

3)

1 −1 2

=

x 0 2

;

4)

x

x −2x

=

1

x −2

;

x

2

x

−1 2 1

x −1

−1

0

−x

−1 0

−3 1

−1

−x 1 1

−1 1

1

−1 0 1

5)

sin 2x

cos2x

=

1

.

sin 4x

cos4x

2

7. Найти среднее арифметическое корней уравнения

x − 1

2

x − 1

2

= 9x − 4,5 .

(x −1)3

(x + 2)3

8. Найти произведение корней уравнений:

1)

x −1

x

2

= 0 ;

2)

x −1 1

0

= −1.

x +1

0

x

1

x −1

1

−2 2 − x 1

0

1

x −1

9. Найти наименьшее и наибольшее значения определителя

1

x +1

3x

на отрезке x [−1;4] .

−1

x

4

1

−2

1

10. Решить неравенства:

19

1)		10 x +1 -2							70 ; 2)			-1 1 2							2 x 2						;
		x -	1	5	1			£				2 x x				£			1 2 -x
		2		0	1							x 3			3				-1 1 x
		-1 x		0 -1										x -1 0						0	-1
3)		1	-1 0		x			³ 0 ; 4) -1<						1	- x 2					1	-2			< 3 ;
		-1	0	1	0										1		0			1	-1
		x	2	-1 1										x + 2			-1 1				0
		2x		0	0				x
5)		1- x		1	1				2	³ 0 .
		0		0	x +1				1
		x + 2		-1	1				0

11. Вычислить определители и все алгебраические дополнения их

элементов: 1)		4	2	-3		; 2)		3	2	-1		.
		0	1	-2				7	-1	0
		3	1	2				4	1	5

§ 2. Алгебра матриц

10. Действия над матрицами. Суммой двух матриц A = (aij ) и B = (bij )

одинаковых размеров m× n называется матрица C = (cij ) тех же размеров,

каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B:

cij = aij + bij ; i =

1, m

, j =

1, n

.

(1)

Для обозначения суммы матриц A и B используют запись A+B. Операция нахождения суммы данных матриц называется сложением матриц. Очевидно, что операцию сложения матриц можно распространить на случай любого числа слагаемых.

Произведением матрицы A = (aij )(i = 1, m, j = 1, n) на число α называется

матрица C = (cij )(i = 1, m, j = 1, n) , каждый элемент которой есть

произведение соответствующего элемента матрицы A и числа α : C = α A , т.е.

cij = αaij , i =

1, m

, j =

1, n

.

(2)

Операция нахождения произведения матрицы на число называется

умножением матрицы на число.

Разностью A − B двух матриц A = (aij ) и B = (bij ) одинакового размера m× n назовем матрицу C = (cij ) такого же размера, которая получается с помощью правила

20