Spieltheorie_WS1213

4.3. TEILSPIELE UND TEILSPIELPERFEKTE GLEICHGEWICHTE 89

der f¨ur alle Spieler eine vollst¨andige Informationsmenge ist; (b) das Teilspiel muss an Endknoten enden, die f¨ur alle Spieler eine Auszahlung angeben.

Anforderung (a) legt fest, dass ein Teilspiel einen klar definierten Beginn haben muss, und jeder Spieler mit Sicherheit weiß, dass es auch in diesem Punkt beginnt. Petras Entscheidung in Abbildung 4.2 auf Seite 87 (a) ist also ein Teilspiel, da sie Peters Entscheidung kennt; die gleiche Entscheidung ohne diese Kenntnis (wie in Abbildung 3.2 auf Seite 56 illustriert) ist hingegen kein Teilspiel. Anforderung (b) impliziert, dass Abbildung 4.3 auf der vorherigen Seite (a) ein Teilspiel ist, Abbildung 4.3 auf der vorherigen Seite (b) jedoch nicht; allerdings k¨onnte an die vier Knoten am rechten Ende von Abbildung 4.3 auf der vorherigen Seite (b) der ”Rest der Geschichte” (die in zwei Knoten Abbildung 4.3 auf der vorherigen Seite (a) entspricht) angeh¨angt werden, was dann wieder zu einem Teilspiel f¨uhren w¨urde. Man kann sich anhand obiger Definition leicht verdeutlichen, dass jedes Spiel mit vollkommener Information Teilspiele aufweisen muss. Außerdem gilt, dass ein statisches

Spiel (in dem die Spieler gleichzeitig ziehen) kein anderes Teilspiel aufweist als das Spiel selbst.

Ein ber¨uhmt gewordenes Beispiel aus der Industrie¨okonomik, das so genannte chain store paradoxon bzw. Marktzutrittsspiel, soll diese Idee illustrieren.1 Es geht hierbei um die Frage, ob der Inhaber einer marktbeherrschenden Stellung sich gegen die Etablierung von Konkurrenz zur Wehr setzen w¨urde und damit, ob man davon ausgehen sollte, dass es uberhaupt¨ zu Markteintritten kommt. Die Theorie dynamischer Spiele gibt hier zwar nicht eine eindeutige Antwort, liefert aber das analytische Ger¨ust.2 Folgende Geschichte liegt dem Spiel zugrunde: Ein Warenhauskonzern beherrscht einen oder mehrere lokale M¨arkte. Auf einem solchen lokalen Markt kann sich nun ein potentieller Newcomer uberlegen,¨ ob er den Warenhauskonzern herausfordert und ebenfalls als Anbieter auf den Plan tritt. Entscheidet er sich f¨ur einen Markteintritt, so kann der Warenhauskonzern diesen mit einer aggressiven Strategie (z.B. durch einen Preiskampf a` la Bertrand-Duopol-Modell; vgl. Abschnitt 3.7.2 auf Seite 73 zu bek¨ampfen versuchen oder aber die bisherige Monopolrente mit dem neuen Konkurrenten teilen, ihn also dulden. Die m¨oglichen Auszahlungen ergeben sich wie folgt: Die Monopolrente betrage 100, die Marktzutrittskosten f¨ur den Newcomer 10 Geldeinheiten, im Fall von ”Duldung” wird angenommen, dass der Monopolgewinn gleich zwischen den beiden Spielern geteilt werden kann, wobei der Newcomer daraus allerdings noch die Marktzutrittskosten zu bestreiten hat.

Abbildung 4.4 auf der n¨achsten Seite zeigt die Normalform dieses Spiels.

¨

Die ublichen¨ Uberlegungen zum Nashgleichgewicht in der Normalform (d.h.

1Was genau an diesem Spiel paradox ist, wird sich erst im Kontext eines wiederholten Spiels Abschnitt 4.4.2 auf Seite 95 erschließen.

2Diese Klasse von Spiele wurde ebenfalls von Reinhard Selten (1978) analysiert.

90	KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II
			Konzern
		dulden	bekämpfen
	eintreten	(40, 50)	(-10, 0)
	Newcomer
	nicht eintreten	(0, 100)	(0, 100)

Abbildung 4.4: Das chain store paradoxon

Die Normalform des Marktzutrittsspiels weist zwei Nash-Gleichgewichte auf.

ohne die Ber¨ucksichtigung der dynamischen Struktur) weisen hier sowohl {eintreten, dulden} als auch {nicht eintreten, bek¨ampfen} als Nash-Gleichgewichte im Sinne wechselseitig bester Antworten aus. Allerdings leuchtet es ein, dass das zweite dieser Gleichgewichte nicht besonders plausibel ist – und dies gleich aus zwei Gr¨unden:

•Der erste Grund ist fast trivial: Was sollte der Konzern bek¨ampfen, wenn der Newcomer sich gegen den Markteintritt entscheidet? Im Grunde ist diese Situation gar nicht definiert – was in der Normalform dadurch zum Ausdruck kommt, dass die Auszahlungen in der unteren Zeile identisch sind.

•Wichtiger ist der zweite Grund: ”Bek¨ampfen” ist f¨ur den Konzern unter keinen Umst¨anden eine glaubw¨urdige Strategie. Denn wenn sich der Newcomer zum Markteintritt entschlossen hat, schadet sich der Konzern nur selbst – verh¨alt sich also irrational. Wenn also sowohl Rationalverhalten als auch vollkommene Information vorausgesetzt werden k¨onnen, so ist die Drohung mit ”Bek¨ampfen” nicht glaubw¨urdig und kann daher ignoriert werden.

Die extensive Form in Abbildung 4.5 auf der n¨achsten Seite bringt diesen Punkt besser zum Ausdruck.

Die Entscheidung des Konzerns auf der zweiten Stufe – abgegrenzt durch das Rechteck – ist ein Teilspiel, das eine klare L¨osung aufweist: Die Duldung des Newcomers ist die rationale Wahl f¨ur den Konzern, ist also die L¨osung des in Abbildung 4.5 auf der n¨achsten Seite durch das Rechteck abgegrenzten Teilspiels. Man spricht dabei von einem teilspielperfekten (Nash-) Gleichgewicht (subgame equilibrium oder subgame perfect Nash equilibrium). Diese Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts-Konzepts soll nun allgemein definiert werden:

Definition: Eine Strategienkombination ist ein teilspielperfektes Gleichgewicht, wenn diese (a) ein Nash-Gleichwicht f¨ur das gesamte dynamische Spiel

4.3. TEILSPIELE UND TEILSPIELPERFEKTE GLEICHGEWICHTE 91

NewWarenhauscomer konzern

	dulden
eintreten	bekämpfen
nicht
eintreten	(0, 100)

(40, 50)

(-10, 0)

Abbildung 4.5: Die extensive Form des Marktzutrittspiels

In dieser Form l¨asst sich die Zerlegung in Teilspiele gut darstellen.

ist und (b) ein Nash-Gleichgewicht f¨ur jedes Teilspiel ist.

Daher ist die Kombination {nicht eintreten, bek¨ampfen} zwar ein NashGleichgewicht, nicht aber ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht, da nach dem ausbleibenden Eintritt des Newcomers auf der zweiten Stufe des Spiels ”bek¨ampfen” nicht optimal ist. Das L¨osungskonzept des teilspielperfekten Gleichgewichts f¨uhrt hier also zu einer hilfreichen Reduktion der Zahl der plausiblen Gleichgewichte.

Dieses Ergebnis darf nat¨urlich nicht so interpretiert werden, dass es niemals zu einem Preiskrieg kommen kann; mindestens drei Klassen von Situationen sind vorstellbar, in denen dies doch passieren kann.

Die einfachste M¨oglichkeit ist die, dass einfach andere Auszahlungen vorliegen und der Konzern eine einfachere Bek¨ampfungsstrategie hat – oder aber schlicht per se Nutzen daraus zieht (¨uber den Gewinn hinaus), einen Konkurrenten aus dem Feld geschlagen zu haben. Abbildung 4.6 auf der n¨achsten Seite zeigt eine solche Situation sowohl in Normalform als auch in extensiver Form. Mit den dort angenommenen Auszahlungen ist {nicht eintreten; bek¨ampfen} das einzige Nash-Gleichgewicht. Es ist auch das einzige teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht, weil alle m¨oglichen L¨osungen des umrahmten Teilspiels f¨ur den Newcomer schlechter w¨aren als die genannte L¨osung.1 In diesem Fall ist also die Androhung einer Bek¨ampfung des Newcomers durch den Konzern glaubw¨urdig, weil Bek¨ampfung dem wohlverstandenen Interesse des Konzerns und damit Rationalverhalten entspricht. Daraus kann die Lehre gezogen werden, dass es f¨ur einen potentiellen Newcomer von gr¨oßter Wichtigkeit ist, welche Gewinneinbußen er einem im Markt befindlichen Unternehmen zuf¨ugen kann und uber¨ welche Bek¨ampfungsstrategien dieses verf¨ugt.

1	¨	{eintreten, bek¨ampfen} ist ein Nash-Gleichgewicht des
	Nur zur Ubung des Jargons:

eingerahmten Teilspiels. Es ist aber kein teilspielperfektes Gleichgewicht, weil es kein NashGleichgewicht des gesamten Spiels ist.

92	KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II

eintreten

Newcomer

nicht eintreten

Newcomer

eintreten

nicht eintreten

	Konzern
dulden	bekämpfen
(40, 50)	(-10, 60)
(0, 100)	(0, 100)

Warenhauskonzern

	(40, 50)
dulden
bekämpfen	(-10, 60)
(0, 100)

Abbildung 4.6: Das Marktzutrittspiels und die Glaubw¨urdigkeit einer Drohung Hier ist nicht eintreten, bek¨ampfen das einzige Nash-Gleichgewicht; dieses weist auch die Eigenschaft der Teilspielperfektheit auf.

Die zweite M¨oglichkeit, Bek¨ampfung von Markteintritt zu erkl¨aren beruht darauf, dass die Situation in des Marktzutrittsspiels nicht als one-shot game verstanden wird, sondern potentiell wiederholt gespielt wird. Es leuchtet intuitiv ein, dass in diesem Fall ein im Markt bereits agierender Akteur ein Interesse haben kann, Kampfbereitschaft zu signalisieren und dieses auch falls notwendig unter Beweis zu stellen. Es k¨onnte also zum Aufbau von Reputation kommen. Diese Dinge werden im n¨achsten Abschnitt, der sich mit der Theorie wiederholter Spiele befasst, n¨aher behandelt.

Die dritte M¨oglichkeit besteht schließlich darin, dass sich die Akteure uber¨ Auszahlungen und/oder Verhalten des Gegenspielers nicht v¨ollig sicher sind. Im Kontext des Marktzutrittsspiels bedeutet dies, dass der Newcomer eine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit wahrnimmt, dass der Konzern quasi ”aus Versehen” doch die (f¨ur ihn nach wie vor unvorteilhafte) Strategie ”bek¨ampfen” w¨ahlt. In diesem Umfeld sind andere Gleichgewichte als das hier beschriebene vorstellbar. Aufgrund der Unsicherheit bei der Entscheidung spricht man von trembling hand equilibria.1 Damit sind wir in

1Die Metapher der ”zitternden Hand” bringt gut die Idee zum Ausdruck, dass die Ent-

4.4. WIEDERHOLTE SPIELE

93

einer Situation mit unvollkommener Information, wie sie im n¨achsten Kapitel analysiert wird.

4.4Wiederholte Spiele

4.4.1Begri iches

Das Marktzutrittsspiel ist nur ein (fast) beliebig herausgegri enes Beispiel f¨ur die M¨oglichkeit, dass ein Spiel wiederholt gespielt werden kann. In der Tat werden die meisten Spiele wiederholt gespielt: Ein potentieller Newcomer kann einen Markteintritt immer wieder in Erw¨agung ziehen, Oligopolisten k¨onnen mehr oder weniger h¨aufig neue Mengen oder Preise setzen, L¨ohne k¨onnen nach dem Ende der Laufzeit eines Tarifvertrags neu ausgehandelt werden. Daher ist es nahe liegend, sich mit der Theorie wiederholter Spiele zu befassen. Dabei soll zun¨achst auf einen taxonomischen Punkt eingegangen werden, da dieser Punkt bisweilen auch in der Lehrbuchliteratur etwas untergeht: Sowohl statische als auch dynamische Spiele k¨onnen als wiederholte Spiele gespielt werden. Abbildung 4.7 zeigt in Teil (a) eine Zeitlinie f¨ur ein wiederholtes statisches Cournot-Oligopolspiel, w¨ahrend (b) ein wiederholtes dynamisches Stackelberg-Oligopolspiel zeigt. Ein anderes Beispiel f¨ur ein wiederholtes statisches Spiel ist das wiederholte Gefangenen-Dilemma.

(a)	Zeit
Beide Duopolisten	Beide Duopolisten
entscheiden über	entscheiden über
jeweilige Menge	jeweilige Menge
1. Runde	2. Runde
(b)	Zeit
Duopolist 1 Duopolist 2	Duopolist 1 Duopolist 2
setzt Menge setzt Menge	setzt Menge setzt Menge
1. Runde	2. Runde

Abbildung 4.7: Wiederholte Spiele

Die Beispiele zeigen (a) ein wiederholtes statisches Spiel und (b) ein wiederholtes dynamisches Spiel.

Auf der Zeitachse ist dar¨uber hinaus angedeutet, dass die Spiele keineswegs nur zwei Mal gespielt werden m¨ussen. In diesem Zusammenhang ist es

scheidung in einem v¨ollig deterministischen Rahmen zwar klar und eindeutig ist, man aber trotz dieser Klarheit nie v¨ollig sicher sein kann, dass Akteure von der optimalen Strategie abweichen.

94 KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II

von besonderer Bedeutung die Unterscheidung zwischen endlich oft oder unendlich oft wiederholten Spielen. Die folgenden Unterabschnitte befassen sich jeweils mit diesen Kategorien.

Zu kl¨aren ist in einem wiederholten Spiel der Begri der Strategie. Jeder Spieler kann ja nun bei jeder Wiederholung m¨oglicherweise eine andere Wahl tre en und wird diese Wahl im Allgemeinen auch auf die Ergebnisse zuvor gespielter Runden konditionieren wollen. Angenommen, ein one-shot game findet statt zwischen 2 Spielern (1 und 2), die in jeder Stufe jeweils zwei reine Strategien (A und B) haben. Diese Situation ist in Abbildung 4.8 zu sehen. Bei zwei gespielten Runden ergeben sich bereits 16 verschiedene denkbare Strategiekombinationen in reinen Strategien.

Spieler 1

A B

A * *

B * *

		RUNDE1
		Spieler 2
		A B
	1	A a b
	Spieler
		B c d

				RUNDE 2
			A B			A B
	1	A	* *	1	A	* *
	Spieler			Spieler
		B * *			B * *

Spieler 1

A B

A * *

B * *

Abbildung 4.8: 2 Spieler, 2 Strategien, 2 Wiederholungen

Ein uber¨ zwei Runden wiederholtes Spiel mit zwei Spielern, die Strategiemengen mit je zwei reinen Strategien haben, weist 16 denkbare Ergebnisse in reinen Strategien auf.

Allgemein ergeben sich bei I Spielern, deren Strategiemengen Si = {S1, S2, . . . , SN } jeweils N Elemente aufweisen NI m¨ogliche Ergebnisse im one-shot game und dementsprechend NI W M¨oglichkeiten nach W Wiederholungen dieses one-

shot game. Im Beispiel der Abbildung 4.8 ist I = N = W = 2 und somit NI W = 16

Eine Strategie Si f¨ur einen Spieler i in einem wiederholten Spiel spezifiziert nun f¨ur jede Stufe eine Entscheidung, wobei ab Runde 2 die Entscheidungen konditional auf alle denkbaren Geschichten des Spiels vor der jeweiligen Stufe sind. In dem Spiel aus Abbildung 4.8 (2x2x2-Spiel) soll die Anzahl der m¨oglichen Strategien f¨ur einen Spieler verdeutlicht werden: In Stufe 1 gibt es 2 M¨oglichkeiten f¨ur Spieler 1 (w¨ahle A oder B). In Stufe 2 gibt es 4 denkbare Geschichten des Spiels und somit (22)2 = 16 verschiedene M¨oglich-

4.4. WIEDERHOLTE SPIELE

95

keiten der Entscheidung f¨ur A oder B.1 Multipliziert man nun noch diese 16 M¨oglichkeiten mit den beiden M¨oglichkeiten des anderen Spielers in Stufe 1, so ergeben sich 32 denkbare Strategien.

Allgemein gibt es f¨ur einen Spieler in Stufe 1 N Wahlm¨oglichkeiten. Da

in Stufe 2 das Spiel NI Vorgeschichten haben kann, gibt es auf dieser Stufe

(N)NI Wahlm¨oglichkeiten, insg. also N · (N)NI Strategien. In einem nur

einmal wiederholten Spiel mit drei Spielern mit je drei reinen Strategien gibt es somit f¨ur jeden Spieler 59049 Strategien! Diese sind allerdings teilweise

¨

beobachtungs¨aquivalent, wie die folgenden Uberlegungen zum 2x2x2-Spiel zeigen. F¨ur diesen Fall sind in Abbildung 4.9 auf der n¨achsten Seite alle denkbaren 32 Strategien f¨ur Spieler 1 aufgelistet.

Fett gedruckt sind Optionen, die in der zweiten Stufe wirklich zur Verf¨ugung stehen, da beispielsweise bei Strategie 1 – die ja voraussetzt, dass in Runde 1 Spieler 1 die Option A w¨ahlte – die beiden letzten Konditionierungen (B,A) und (B,B) nicht zutre en. Daraus folgt auch, dass beispielsweise die Strategien 1, 9, 10 und 11 beobachtungs¨aquivalent sind.

Einige der Strategien in Abbildung 4.9 auf der n¨achsten Seite haben besondere Eigenschaften und entsprechende Bezeichnungen:

•Die Strategien 1 und 18 sind unkonditionale Strategien, da hier auf beiden Stufen A (bzw. B) gespielt wird, wobei auf der zweiten Stufe die Geschichte des Spiels keinerlei Rolle spielt.

•Strategien 2 und 17 sind Rotationsstrategien, da in der zweiten Runde ebenfalls in allen denkbaren Konstellationen die jeweils andere Wahl erfolgt.

•Strategie 13 ist eine Triggerstrategie; hier spielt Spieler 1 A in der ersten Runde und beh¨alt dies dann und nur dann bei, wenn auch Spieler 2 in der ersten Runde die gleiche Wahl getro en hat. Strategie 29 ist die Triggerstrategie f¨ur B.

4.4.2Endlich wiederholte Spiele I: Eindeutige Nash-Gleichgewichte auf den einzelnen Stufen

In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass die Analyse endlich oft wiederholter Spiele keine besondere Herausforderung darstellt, wenn auf den einzelnen Stufen des Spiels ein eindeutiges Nash-Gleichgewicht vorliegt. In diesem Fall ergibt sich als Ergebnis einfach das eindeutige (bei

1Hierf¨ur wird das folgende Ergebnis aus der Kombinatorik gebraucht: Wenn aus N Objekten (das sind hier die reinen Strategien) Gruppen mit K Elementen gebildet werden und beliebige Wiederholungen und Permutationen der Elemente m¨oglich sind, so gibt es NK M¨oglichkeiten.

96	KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II
Strategie	Zug des	Zug des Spielers 1 in der 2. Runde konditional auf
	Spielers 1 in	die vier möglichen Ergebnisse in der 1. Runde
	der 1. Runde
		(A, A)	(A, B)	(B, A)	(B, B)
1	A	A	A	A	A
2	A	B	B	B	B
3	A	A	B	B	B
4	A	B	A	B	B
5	A	B	B	A	B
6	A	B	B	B	A
7	A	B	A	A	A
8	A	A	B	A	A
9	A	A	A	B	A
10	A	A	A	A	B
11	A	A	A	B	B
12	A	B	B	A	A
13	A	A	B	A	B
14	A	B	A	B	A
15	A	A	B	B	A
16	A	B	A	A	B
17	B	A	A	A	A
18	B	B	B	B	B
19	B	A	B	B	B
20	B	B	A	B	B
21	B	B	B	A	B
22	B	B	B	B	A
23	B	B	A	A	A
24	B	A	B	A	A
25	B	A	A	B	A
26	B	A	A	A	B
27	B	A	A	B	B
28	B	B	B	A	A
29	B	A	B	A	B
30	B	B	A	B	A
31	B	A	B	B	A
32	B	B	A	A	B

Abbildung 4.9: Strategien in einem 2x2x2 Spiel

dynamischen Spielen: teilspielperfekte) Nash-Gleichgewicht auf jeder Stufe des Spiels.

Trotz der scheinbaren Banalit¨at des Ergebnisses ist dies keineswegs trivial. Wenn beispielsweise das chain store paradox aus den Abbildungen 4.4 auf Seite 90 bzw. 4.5 auf Seite 91 nicht auf einem Markt, sondern (zeitlich gesta elt) auf einer beliebigen Zahl von n M¨arkten gespielt wird, k¨onnte man sich intuitiv durchaus vorstellen, dass der Konzern den Newcomer mit gr¨oßerer Vehemenz bek¨ampft als wenn dies auf nur einem Markt passiert. Die Logik scheint klar zu sein: Wenn der Konzern auf dem ersten Markt k¨ampft, h¨atte er eine Reputation f¨ur die anderen n − 1 M¨arkte aufgebaut, die sehr n¨utzlich w¨are. Diese Intuition ist aber falsch, wie gleich gezeigt wird.

Abbildung 4.10 auf der n¨achsten Seite zeigt diese Situation:

Die Struktur kann nun – wie bei der Analyse eines dynamischen one-shot

4.4. WIEDERHOLTE SPIELE			97
			Zeit
Newcomer:	Konzern:	Newcomer:	Konzern:
e. oder n.e.	d. oder b.	e. oder n.e.	d. oder b.
1. Runde		n-te Runde

Abbildung 4.10: Das wiederholte Marktzutrittsspiel.

games – mit Hilfe der Methode der R¨uckw¨artsinduktion analysiert werden. Beginnen wir also in

Runde (oder Periode) n: Unabh¨angig von der ”Vorgeschichte” – und damit von der eventuell aufgebauten Reputation f¨ur die entschlossene Bek¨ampfung von Marktzutritt durch den Konzern – ist das Ergebnis in der letzten Periode v¨ollig eindeutig. Da es nach dieser Runde keine weiteren Wiederholungen mehr gibt, liegt hier ein one-shot game vor, dessen eindeutiges Gleichgewicht dann wie beschrieben bei {eintreten, dulden} ist. Da das Spiel in Runde der letzten, d.h. n-ten Runde ein Teilspiel ist, nennt man dieses Ergebnis auch teilspielperfektes Gleichgewicht.

Runde (oder Periode) n − 1: Der Konzern weiß, dass ihm egal welche Reputation f¨ur die Folgeperiode n nichts mehr nutzen wird, da sie dort ohnehin v¨ollig unglaubw¨urdig ist. Also bestehen in Runde n − 1 keine Anreize mehr, diese Reputation aufzubauen. Das Ergebnis ist somit wieder das Gleichgewicht des one-shot game {eintreten, dulden}. Da auch die beiden Spiele in Runde n − 1 und n zusammen ein Teilspiel sind, nennt man die L¨osung f¨ur beide Runden wieder ein teilspielperfektes Gleichgewicht.

Alle weitere Perioden: Da nun festgestellt wurde, dass in Periode n, und deshalb auch in Periode n − 1 das Gleichgewicht eines one-shot games resultiert, besteht nat¨urlich auch in Periode n − 2 keine Veranlassung f¨ur den Konzern eine – notwendigerweise unglaubw¨urdige – Reputation f¨ur die Bek¨ampfung eines Marktzutritts aufzubauen. Dieses Argument kann nun immer weiter nach vorne gedacht werden bis zur ersten Runde des endlich wiederholten Spiels.

Dieses Ergebnis verdient es, allgemein festgehalten zu werden in dem folgenden

Theorem: Das eindeutige teilspielperfekte Gleichgewicht eines n Mal wiederholten (dynamischen) one-shot games, das ein eindeutiges (teilspielperfektes) Nash-Gleichgewicht aufweist, ist die n-fache Wiederholung des (teilspielperfekten) Nash-Gleichgewichts des one-shot games. (Der Beweis dieses Theo-

¨

rems wurde durch die obigen Uberlegungen erbracht.)

Die Formulierung dieses Theorems stellt nicht ausschließlich auf dynamische one-shot games ab, wie das im Beispiel des Markteintrittsspiels der Fall ist, sondern gilt auch f¨ur statische one-shot games wie beispielsweise das Gefange-

98	KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II

nendilemma.1 Daher bezieht sich das Attribut ”teilspielperfekt” im Kontext eines dynamischen one-shot games auf zwei unterschiedliche Dinge, deren Unterscheidung zu der etwas sperrigen Formulierung des obigen Theorems f¨uhrt: Zum einen auf die L¨osung des one-shot games und zum anderen auf die

Abfolge dieser L¨osungen durch die Wiederholungen des Spiels.

Mit diesem Ergebnis kann nun auch das Paradoxe am chain store paradoxon klar identifiziert werden: Obgleich die Intuition zumindest bei h¨aufigen Wiederholungen des Marktzutrittsspiels nahe legt, dass eine Reputation f¨ur die Bek¨ampfung von Newcomern aufgebaut wird – oder dass die Neigung, Reputation aufzubauen, zumindest von der Anzahl der Wiederholungen abh¨angt –, ist dies im Kontext eines endlich oft wiederholten Spiels nicht begr¨undbar. Vielmehr gibt es in diesem Rahmen (paradoxerweise) keine glaubw¨urdige M¨oglichkeit f¨ur den bereits im Markt agierenden Anbieter, eine entsprechende Reputation aufzubauen.

Zu beachten ist, dass dieses Ergebnis unabh¨angig von jeder Art der Diskontierung ist. Der Grund daf¨ur ist sehr einfach: Auch wenn eine Auszahlung in Runde n aus heutiger Sicht mit einem Diskontfaktor (1 + ρ)−n (ρ ist dabei die Zeitpr¨aferenzrate) zu bewerten ist, so ¨andert dies nichts an der Reihenfolge der Auszahlungen in jeder Runde.

4.4.3Endlich wiederholte Spiele II: Multiple Nash-Gleich- gewichte auf den einzelnen Stufen

Das gerade behandelte Theorem in Abschnitt 4.4.2 auf Seite 95 setzt voraus, dass das one-shot game ein eindeutiges Nash-Gleichgewicht aufweist – was beim Marktzutrittsspiel der Fall ist. Allerdings gibt es viele Situationen, in denen dies nicht der Fall ist. Zur Illustration kann wieder ”Battle of the Sexes” herangezogen werden – allerdings in der statischen Version, da nur hier zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien vorhanden sind. Außerdem gibt es ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien. Die Auszahlungsmatrix aus Abbildung 2.15 auf Seite 40 ist in Abbildung 4.11 auf der n¨achsten Seite noch einmal zu sehen.

Wenn p1 bzw. p2 die Wahrscheinlichkeiten bezeichnen, mit denen Peter bzw. Petra zum Boxkampf gehen, so ergeben sich die erwarteten Auszahlungen u f¨ur Peter und Petra wie folgt :

1In dem Spiel aus Abschnitt 3.3 auf Seite 59 (vgl. Abbildung 3.3 auf Seite 60) werden Max und Moritz in der letzten Periode gestehen, da eine Reputation sp¨ater nichts mehr wert ist. Per R¨uckw¨artsinduktion folgt daraus wieder, dass {gestehen, gestehen} in jeder Stufe des endlich wiederholten Spiels gew¨ahlt wird, dies also das einzige teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht darstellt. Mit anderen Worten: Eine endliche Zahl von Wiederholungen ist nicht in der Lage, die beiden Delinquenten aus dem Gefangenendilemma zu befreien.