Spieltheorie_WS1213

7.5. ERWEITERUNGEN UND ANWENDUNGEN

199

Komplementarit¨aten

Auf diese Eigenschaft wurde bereits weiter oben eingegangen. Im Zusammenhang mit Mobilfunklizenzen bedeutet ein gr¨oßeres Frequenzspektrum – und damit der simultane Erwerb mehrerer Frequenzpakete – eine h¨ohere Kapazit¨at f¨ur den sp¨ateren Betrieb. Aufgrund von Fixkosten f¨ur den Netzwerkaufbau (Sendeund Empfangseinrichtungen), aber auch f¨ur Werbung und f¨ur den laufenden Betrieb ist es daher durchaus plausibel, dass bspw. ein Spektrum von

¨

40 MHz mehr wert ist als das Doppelte von 20 MHz. Die Uberlegungen weiter oben legten nahe, dass in einem solchen Fall sowohl E zienzals auch Einnahmemaximierungs¨uberlegungen f¨ur eine gewisse Flexibilit¨at des Auktionsdesigns sprechen. Insbesondere sollte es den Bietern m¨oglich sein, Gebote f¨ur mehrere Pakete abgeben zu k¨onnen. Bei der UMTS-Auktion in Deutschland war dies folgendermaßen geregelt: Bei einem Gesamtangebot von 12 Frequenzbl¨ocken musste ein Bieter wenigstens f¨ur zwei Bl¨ocke bieten, war aber beschr¨ankt auf maximal 3 Bl¨ocke. Das Auktionsdesign sah nicht vor, dass alle 12 Bl¨ocke versteigert werden mussten. Mit dieser Regel war klar, dass am Ende zwischen null und sechs Firmen den Mobilfunkmarkt unter sich aufteilen w¨urden.

Externalit¨aten des Auktionsergebnisses auf den Wettbewerb

Im Gegensatz zu vielen anderen Auktionen wurde bei der Versteigerung der UMTS-Lizenzen ein Gesch¨aft nicht abgeschlossen, sondern vielmehr er¨o net. Schließlich ist die Lizenz ja ”nur” eine Eintrittskarte in einen wichtigen Markt. Selbstverst¨andlich h¨angt f¨ur einen Bieter der Wert dieser Eintrittskarte ab von den auf dem Mobilfunkmarkt (¨uber 20 Jahre) zu erwartenden Gewinnen. Gleichzeitig h¨angen diese Gewinne aber von der Marktstruktur ab, die in genau dieser Auktion bestimmt wird. Da ja ex ante, wie gerade gesehen, die Zahl der sp¨ateren Wettbewerber nicht feststand, ergab sich hier eine sehr bedeutsame Interdependenz: Der Wert des Auktionsgegenstandes h¨angt von der Marktsituation ab, die sich aber erst durch die Auktion bestimmt. Abbildung 7.3 visualisiert diesen Zusammenhang. Aus der Sicht eines potentiellen Bieters handelt es sich dabei um ein 2-stufiges Spiel, wobei strategische Interaktionen sowohl innerhalb der einzelnen Stufe als auch uber¨ die beiden Stufen hinweg eine o ensichtliche Bedeutung haben.

Bieterverhalten bei	Struktur des UMTS-
der Lizenzauktion	Mobilfunkmarktes

Abbildung 7.3: Die Besonderheit der UMTS-Auktion

200	KAPITEL 7. AUKTIONEN

Schon nur diese Struktur macht deutlich, dass es ein eindeutiges Gleichgewicht bei diesem 2-stufigen Spiel nicht mehr geben kann, sondern nunmehr die Erwartungen der Marktteilnehmer eine entscheidende Rolle spielen. Wird ein harter Wettbewerb mit vielen Anbietern und entsprechend geringen Gewinnmargen erwartet, so wird die Zahlungsbereitschaft bei der Auktion nicht sehr hoch sein und damit die Lizenz relativ billig werden – was die Erwartungen dann ex post genau erf¨ullt. Umgekehrt wird f¨ur Lizenzen mehr bezahlt, wenn eine wenig kompetitive Marktstruktur erwartet wird. Aufgrund der hohen (und dann f¨ur zus¨atzliche Bieter unattraktiven) Preise wird auch diese Erwartung sich selbst erf¨ullen. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von self-fulfilling prophecies. Der entscheidende Punkt dabei ist, dass unterschiedliche ex ante Erwartungen ein Verhalten induzieren, dass diese Erwartungen ex post validiert. Damit liegen nat¨urlich multiple Gleichgewichte vor, die es v¨ollig unm¨oglich machen, eine konkrete Prognose uber¨ das Auktionsergebnis abzugeben.

Eine vor der UMTS-Auktion von Investment-Banken erstellte Studie uber¨ den Wert der Lizenzen arbeitete diesen Punkt sehr deutlich heraus: Unter der Hypothese, dass bei insgesamt vier Firmen im Markt sich eine dominante Firma (mit h¨oherem Frequenzspektrum als die anderen) herausbilden kann, wurde der Wert auf 88,4 Milliarden E taxiert – also noch einmal deutlich mehr als die tats¨achlich erl¨oste Summe. Wenn allerdings f¨unf Firmen auf dem Markt sind und dabei ein aggressiver neuer Wettbewerber f¨ur rasch sinkende bzw. generell tiefe Preise sorgt, wurde die Lizenz mit nur noch 13,5 Milliarden E bewertet. Schon diese dramatischen Unterschiede machen klar, mit welchen Schwierigkeiten die Bewertung im Vorfeld der Auktion behaftet war.

Kapitel 8

Koalitionsspiele

8.1Lernziele

Die Spieltheorie analysiert Situationen strategischer Interaktion zwischen zwei oder auch mehreren Akteuren. Bisher wurde dabei immer unterstellt, dass ein Spieler ausschließlich sein Eigeninteresse verfolgt. Die Auszahlungen f¨ur den anderen Spieler waren f¨ur die jeweils eigenen Entscheidungen nur insoweit von Interesse, als diese die Strategiewahl der Gegenspieler bestimmten. In diesem Sinn waren die in den Kapiteln 3-5 behandelten Situationen allesamt nonkooperativ und damit Gegenstand der non-kooperativen Spieltheorie. Die gleiche Perspektive wurde auch in der non-kooperativen Verhandlungstheorie beibehalten. Bei der Analyse von Verhandlungen hatten wir allerdings gesehen, dass auch eine ganz andere Vorgehensweise gew¨ahlt werden kann, indem eine kooperative Sichtweise eingenommen wird. Sowohl in der Nashals auch in der Kalai-Smorodinsky-L¨osung einer Verhandlungssituation werden die Positionen aller beteiligten Spieler ber¨ucksichtigt.

In diesem Kapitel wird ebenfalls eine kooperative Perspektive eingenommen, gegen¨uber den einfachen 2-Personenspielen, die bisher vor allem untersucht wurden, jedoch ein Spiel mit wenigstens drei Spielern unterstellt und zugelassen, dass diese Spieler in Untergruppen oder auch als Gesamtheit Koalitionen eingehen k¨onnen. Dies ist nicht nur ein in realistischen Entscheidungssituationen in allem m¨oglichen Gremien und Parlamenten immer wieder beobachtbares Ph¨anomen, sondern legt auch nahe, dass eine kooperative Perspektive gerade in diesem Zusammenhang eine besonders realistische und plausible Perspektive ist.

In Abschnitt 8.2 auf der n¨achsten Seite werden die grundlegenden Begriffe zur genauen Charakterisierung der beschriebenen Spiele eingef¨uhrt. Abschnitt 8.3 auf Seite 213 stellt die bedeutendsten L¨osungskonzepte f¨ur Koalitionsspiele vor, deren anschließend in Abschnitt 8.4 auf Seite 217 weiter vertieft wird.

201

202	KAPITEL 8. KOALITIONSSPIELE

8.2Grundlegende Begri e

8.2.1Kooperative Mehrpersonenspiele ohne Koalitionsbildung

Eine auf der Hand liegende Verallgemeinerung der Nash-Verhandlungsl¨osung aus Abschnitt 6.4.1 auf Seite 159 in einem Zwei-Personenspiel besteht darin, bei I Spielern mit Auszahlungen ui (s) und Drohpunkten αi einen NashMaximanden wie folgt zu definieren1:

Ω = (u1 (s) − α1) · (u2 (s) − α2) · . . . · (uI (s) − αI )

I	(8.1)
Q
= (ui (s) − αi)
i=1

s bezeichnet dabei den Vektor der Strategievariablen, die insgesamt von den I Spielern kontrolliert werden k¨onnen. Es spielt dabei in einem kooperativen Verhandlungskontext – egal ob zwischen zwei oder mehr Verhandlungspartnern – keine Rolle, ob die Kontrolle einer Variablen einem bestimmten Spieler zugeordnet werden kann und falls dem so w¨are, welchem.

Die L¨osung des Verhandlungsproblems w¨are dann gegeben durch die Bedingungen erster Ordnung

	∂Ω	= 0,	(8.2)
	∂s

wobei dieses System von Bedingungen erster Ordnung so viele Gleichungen hat, wie der Vektor s Elemente aufweist. 8.2 legt dann die Optimalwerte der Strategievariablen fest, die mit s bezeichnet seien. Daraus ergeben sich dann

sofort die in der Verhandlungsl¨osung realisierten Auszahlungen als
ui (s ) , i = 1, ..., I,	(8.3)

wobei sichergestellt sein muss, dass ui (s ) ≥ αi i.

Diese Vorgehensweise erlaubt es jedoch nicht, die eingangs erw¨ahnten Koalitionsbildungen zu ber¨ucksichtigen und findet daher kaum Anwendung in der Analyse von Verhandlungen zwischen mehr als zwei Spielern.

8.2.2Koalitionen

Unter einer Koalition wird typischerweise der Zusammenschluss von wenigstens zwei Entscheidungstr¨agern verstanden, die ihre Aktionen untereinander absprechen und festlegen k¨onnen. Ein wichtiges Merkmal von Koalitionen

1Ebenfalls sehr einfach m¨oglich w¨are nat¨urlich eine Ber¨ucksichtigung unterschiedlicher Gewichte analog zu dem verallgemeinerten Nash-Maximanden in Gleichung 6.11. Dieser

I

w¨are dann gegeben durch Ω = Q (ui (s) − αi)γi .

i=1

8.2. GRUNDLEGENDE BEGRIFFE

203

ist, dass innerhalb von Koalitionen bindende Absprachen getro en werden k¨onnen. Diese M¨oglichkeit wird im Folgenden nicht weiter hinterfragt, sondern als gegeben angenommen. Dies bedeutet insbesondere, dass ein Mitglied einer Koalition verl¨asslich und glaubw¨urdig auf ein Verhalten festgelegt werden kann, das f¨ur die gesamte Koalition (im Zusammenspiel mit dem Verhalten der anderen Koalition¨are) optimal ist, das aber nicht notwendigerweise die ceteris paribus individuell rationale Strategiewahl reflektiert.

Welche und wie viele Koalitionen kann es innerhalb einer Gesamtheit von I Spielern prinzipiell geben? Hier helfen einige Ergebnisse aus der Kombinatorik.

•I Elemente k¨onnen in beliebig großen Gruppen (einschließlich der leeren Menge und der großen Koalition) auf 2I verschiedene Arten kombiniert werden. Da die Betrachtung der leeren Menge in diesem Zusammenhang nicht interpretierbar ist, ergeben sich bei I Spielern 2I − 1 Koalitionsm¨oglichkeiten, wobei hier die I denkbaren Einerkoalitionen mit enthalten sind. Will man diese ausschließen, so verbleiben 2I − I − 1 ”echte” Koalitionen (einschließlich der großen Koalition).

•Koalitionen bestehen aus einem Teil der I Mitglieder. Die Zahl der Mitglieder sei mit k bezeichnet, wobei gelten muss, dass k ≤ I. Aus einer

Gesamtheit der Gr¨oße I k¨onnen	I	=	I!		Gruppen der Gr¨oße k
	k		k!(I−k)!
konstruiert werden.1

F¨ur I = 4 seien die m¨oglichen Koalitionen in Tabelle 8.1 zusammengestellt:

k		#(k)?		Konkrete Koalitionen
1		4	= 4	{1},{2}, {3}, {4}
		1
2		4	= 6	{1, 2}, {1, 3},{1, 4},{2, 3},{2,4},{3, 4}
		2
3		4	= 4	{1, 2, 3}, {1, 2, 4},{1, 3, 4},{2, 3, 4}
		3
4		4	= 1	{1, 2, 3, 4}
		4

Tabelle 8.1: Koalitionsm¨oglichkeiten bei 4 Spielern

1Die Operation wird bezeichnet mit ”I uber¨ k”. Die Fakult¨at einer nat¨urlichen Zahl x ≥ 1

x

ist definiert durch x! ≡ Q i. Es gilt außerdem die Konvention, dass 0! = 1.

i=1

204	KAPITEL 8. KOALITIONSSPIELE

Es ist sofort zu verifizieren, dass in diesem Fall 24 − 1 = 15 verschiedene Koalitionen (einschließlich der 1-er Koalitionen) m¨oglich sind.1 Daraus erhellt sich auch sofort die Tatsache, dass die Analyse von Verhandlungen mit der M¨oglichkeit von Kooperationen innerhalb von auch recht uberschaubaren¨ Gruppen ein wirklich komplexes Problem ist. In einer Gruppe von 10 Personen gibt es bereits 1023 Koalitionsm¨oglichkeiten, die derzeit 601 Abgeordneten des Deutschen Bundestags k¨onnten sich auf ca. 8, 299 · 10180verschiedene Arten zusammentun, wenn dabei keinerlei Parteigrenzen respektiert werden w¨urden, d.h. sich jeder mit jedem in beliebig großen Gruppen der Gr¨oße 1 ≤ k ≤ 601 zusammentun k¨onnte.2 Von daher scha t die B¨undelung der Abgeordneten in

¨

Fraktionen durchaus eine gewisse und vielleicht sogar w¨unschenswerte Ubersichtlichkeit.

8.2.3Transferierbarer Nutzen, die charakteristische Funktion und ein Beispiel

In der Theorie der Koalitionsspiele wird h¨aufig angenommen, dass die Auszahlungen zwischen den Teilnehmern direkt miteinander verglichen werden k¨onnen, d.h. eine Auszahlungseinheit bei Individuum i genau so zu bewerten ist wie eine Auszahlungseinheit bei einem Individuum j 6= i. Anders gesagt: Der Nutzen ist transferierbar. Dies ist immer dann auch durchaus realistisch, wenn die Auszahlungen eines konkreten Spiels in Geldeinheiten gemessen werden k¨onnen und man mit der Annahme leben kann, dass eine Geldeinheit f¨ur alle Teilnehmer gleich viel wert ist. Unter dieser Annahme kann eine charakteristische Funktion v (C) definiert werden, die f¨ur alle denkbaren Koalitionen C die erreichbaren Auszahlungen angibt. Die Auszahlungen beziehen sich dann immer auf die Koalition insgesamt. Wie diese Auszahlung auf die Koalitionsmitglieder verteilt wird, steht hier nicht zur Diskussion.

Die Ermittlung der charakteristischen Funktion ist aber auch f¨ur eine gegebene Zuordnung von allen denkbaren Strategiekombinationen zu Auszahlungen f¨ur alle Teilnehmer nicht trivial bzw. nicht eindeutig. Die Schwierigkeit liegt n¨amlich darin begr¨undet, dass jeweils eine Annahme dar¨uber getro en werden muss, wie sich die Spieler außerhalb der gerade betrachteten Koalition verhalten.

1Einerkoalitionen sind keineswegs ein irrelevanter Spezialfall bei Verhandlungsspielen. Diese sind n¨amlich genau dann optimal, wenn sich keine ”echte” Koalition mit zwei oder mehr Mitgliedern finden l¨asst, die eine h¨ohere gemeinsame Auszahlung generiert als durch individuell rationales Verhalten ohne Absprachen in dieser Koalition. Ohne entsprechende Kooperationsanreize wird es also auch keine Kooperation geben.

2Dies ist eine absolut monstr¨ose Zahl – man schreibt die Zi ern 8299 auf und h¨angt danach 177 Nullen an. Zum Vergleich: Die Erde wiegt ca. 6 · 1024 kg, die Zahl der Atome

(!) im gesamten Universum (!) wird in der Gr¨oßenordnung 1078 vermutet. Selbst wenn man also die Zahl der Atome im Universum quadiert, w¨are man mit 10156 noch immer einen Faktor, der dem Gewicht der Erde in kg entspricht, von der Zahl der m¨oglichen Koalitionen im Bundestag entfernt.

8.2. GRUNDLEGENDE BEGRIFFE

205

Auf die die Spieltheorie quasi begr¨undende Monographie von von Neumann/ Morgenstern (1944) geht der Vorschlag zur¨uck, dass die charakteristische Funktion so definiert wird, dass sie die minimalen Werte benennt, die eine Koalition f¨ur sich sicherstellen kann. Dies ist insofern ein MinimaxWert, als es der kleinste Wert (d.h. f¨ur das denkbar schlechteste Verhalten der Spieler außerhalb der Koalition) ist, den die Koalition durch die f¨ur sie optimalen Strategieparameter f¨ur sich erreichen kann. Bei der Bestimmung der f¨ur sie optimalen Strategie rechnet eine Koalition also immer mit dem Schlimmsten.

Ein denkbar einfaches Beispiel soll dies verdeutlichen. Angenommen drei Spieler 1, 2 und 3 haben jeweils 2 Strategieoptionen, A und B. Es gibt in diesem Fall also 23 = 8 M¨oglichkeiten, wie diese Strategien kombiniert werden k¨onnen. Diese sind mit den damit verbundenen Auszahlungen in der nachfolgenden Tabelle 8.2 aufgelistet1:

Strategie	Auszahlung
A, A, A	4, 4, 4
A, B, A	2, 5, 2
A, A, B	2, 2, 5
A, B, B	0, 3, 3
B, A, A	5, 2, 2
B, B, A	3, 3, 0
B, A, B	3, 0, 3
B, B, B	1, 1, 1

Tabelle 8.2: Ein Drei-Personen-Spiel

In der ersten Spalte sind jeweils die Kombinationen der Strategiewahlen der Spielern 1, 2 und 3 aufgelistet, in der zweiten die entsprechenden Auszahlungen f¨ur alle drei Spieler. Zwei Merkmale sollten sofort au allen:

•Bei der Strategiekombination {A, A, A} ist die Auszahlungssumme mit 12 am h¨ochsten.

•F¨ur jeden Spieler ist B eine strikt dominante Strategie, deren Befolgung durch alle allerdings zu einer kollektiv o ensichtlich ine zienten L¨osung f¨uhrt.

Bei drei Spielern gibt es 23 − 1 = 7 verschiedene Koalitionen, konkret die große Koalition, 3 Zweier-Koalitionen und 3 Einer-”Koalitionen”. Tabelle 8.3 auf der n¨achsten Seite listet die charakteristische Funktion des Spiels aus Tabelle 8.2 auf, wobei der erste Teil das Minimax-Kriterium zugrunde legt. Auf die beiden anderen Abschnitten wird weiter unten n¨aher eingegangen.

1Das Zahlenbeispiel ist entnommen dem Lehrbuch von Myerson (1991), S. 425

206						KAPITEL 8. KOALITIONSSPIELE
	Koalition	{1, 2,	3}		{1, 2}	{1, 3}	{2, 3}	{1}	{2}	{3}
			1)	Minimax-Kriterium
	Opt. Strategie	A, A, A			A, A	A, A	A, A	B	B	B
	Auszahlung	12			4	4	4	1	1	1
			2) Defensives Verhalten
	Opt. Strategie	A, A, A			A, A	A, A	A, A	B	B	B
	Auszahlung	12			4	4	4	5	5	5
			3) Rationale Drohung
	Opt. Strategie	A, A, A			B, B	B, B	B, B	B	B	B
	Auszahlung	12			2	2	2	1	1	1

Tabelle 8.3: Drei charakteristische Funktionen

... des Spiels aus Tabelle 8.2 auf der vorherigen Seite unter Verwendung unterschiedlicher Kriterien

Die charakteristische Funktion ist die Zuordnung der 7 Koalitionen der ersten Zeile zu den jeweiligen Auszahlungen bzw. Auszahlungssummen. Als Gleichung kann die charakteristische Funktion unter Zugrundelegung des MinimaxKriteriums vm (C) wie folgt geschrieben werden:

12 C mit

vm (C) = 4 C mit1 C mit

|C| = 3

|C| = 2 . (8.4)

|C| = 1

|C| bezeichnet die Anzahl der Mitglieder in der Koalition C. F¨ur die große Koalition liegt das Ergebnis auf der Hand: Die Strategiekombination A, A, A liefert die h¨ochste Auszahlungssumme (in H¨ohe von 12). Da es Spieler außer-

¨

halb der Koalition gar nicht gibt, greift die Minimax-Uberlegung in diesem Fall nicht. Alle Einer-”Koalitionen” k¨onnen f¨ur sich durch Wahl der Strategie B die Auszahlung 1 sichern. Je nach Verhalten der beiden anderen Spieler k¨onnen dann n¨amlich die Auszahlungen 5, 3 und 1 realisiert werden, w¨ahrend bei Wahl von A die Auszahlungen 4, 2 und 0 resultieren k¨onnen. Damit wird die Einer-Koalition immer B w¨ahlen und damit mindestens die Auszahlung von 1 sicherstellen k¨onnen.

Etwas aufwendiger ist die Begr¨undung des Werts der charakteristischen Funktion f¨ur eine Zweier-Koalition. F¨ur {1, 2} sei die Ableitung der optimalen Strategie und der damit verbundenen Auszahlung f¨ur diese Koalition im Detail skizziert.1 Die beiden Koalition¨are haben die M¨oglichkeit, sich auf vier verschiedene Strategiekombinationen zu einigen, wobei sie dann hinsichtlich der Wahl des Gegenspielers (d.h. von Spieler 3) das f¨ur sie Schlechteste unterstellen. In Tabelle 8.4 auf der n¨achsten Seite sind alle Alternativen und deren

1Da die anderen Zweier-Koalitionen symmetrisch zu diesem Fall sind, ist die Herleitung f¨ur die entsprechenden Werte der charakteristischen Funktion v¨ollig identisch.

8.2. GRUNDLEGENDE BEGRIFFE

207

Bewertung aufgelistet.

Wahl von {1, 2}	Wahl von {3}			Min. Wert f¨ur {1, 2}
	A		B
A, A	4 + 4 = 8		2 + 2 = 4	4
A, B	2 + 5 = 7		0 + 3 = 3	3
B, A	5 + 2 = 7		3 + 0 = 3	3
B, B	3 + 3 = 6		1 + 1 = 2	2

Tabelle 8.4: Strategiewahl einer Zweier-Koalition und Bestimmung des Werts einer charakteristischen Funktion unter Verwendung des Minimax-Kriteriums

Man sieht aus dieser Tabelle sofort, dass die Wahl von A, A im schlechtesten Fall die Auszahlung 4 generiert und daher die f¨ur die Koalition {1, 2} beste Option darstellt – wie gesagt, wenn unterstellt wird, dass hinsichtlich der Wahl der anderen Spieler der schlechteste Fall eintritt.

Wie bereits gesagt, ist das Minimax-Kriterium aber nicht alternativlos. Man k¨onnte – als zweite M¨oglichkeit f¨ur eine Ableitung der charakteristischen Funktion – unterstellen, dass sich Koalitionen defensiv verhalten in dem Sinn, dass sie durch ihre Strategiewahl die Summe ihrer Auszahlungen maximieren unter der Annahme, dass sich alle Gegenspieler (die sog. komplement¨are Koalition) zusammentun und ihrerseits die Summe ihrer Auszahlung maximieren. Eine Koalition unterstellt also immer ”Konspiration” seitens aller Nicht-Mitglieder. F¨ur die große Koalition ist die Hypothese uber¨ das Verhalten der Anderen wiederum uninteressant. F¨ur das Beispiel aus Tabelle 8.2 auf

¨

Seite 205 sind aber nun die Uberlegungen f¨ur Einerund Zweier-Koalitionen in der folgenden Tabelle 8.5 auf der n¨achsten Seite zusammengefasst.1 F¨ur alle denkbaren Strategiewahlen werden die Auszahlungsvektoren f¨ur eine Einerund die dazu komplement¨are Zweier-Koalition angegeben. Aufgrund der Symmetrie k¨onnte die Einer-Koalition auch aus {1} oder {2} bestehen (mit entsprechender Modifikation f¨ur die komplement¨aren Koalitionen), ohne dass sich die Auszahlungsvektoren andern¨ w¨urden.

Man sieht unmittelbar, dass B f¨ur {1} sowie A, A f¨ur die Koalition {2, 3} (schwache) dominante Strategiewahlen darstellen und damit Auszahlungen von 5 f¨ur die Einer-Koalitionen und 4 f¨ur die Zweier-Koalitionen verbunden sind. Die charakteristische Funktion vd (C) f¨ur defensives Verhalten w¨are damit gegeben durch

1Man kann dies deswegen sehr einfach machen, weil ja in einem Drei-Personen-Spiel zu jeder Einer-Koalition die Zweier-Koalition die komplement¨are Koalition ist und auch vice versa zu jeder Zweier-Koalition eine Einer-Koalition komplement¨ar ist.

208					KAPITEL 8. KOALITIONSSPIELE
					{2, 3 }
	{1}	A, A		A, B		B, A	B, B
	A	(4,	8)	(2,	7)	(2, 7)	(1,	2)
	B	(5,	4)	(3,	3)	(3, 3)	(1,	2)

Tabelle 8.5: Strategiewahl von Einerund Zweierkoalitionen bei defensivem Verhalten

Die jeweils erste Zahl gibt die Auszahlung von {1}, die zweite die Auszahlungssumme f¨ur {2, 3} an.

12 C mit

vd (C) = 4 C mit5 C mit

|C| = 3

|C| = 2 . (8.5)

|C| = 1

Als drittes Kriterium kann schließlich noch angenommen werden, dass Koalitionen versuchen, den Abstand ihrer Auszahlungen zu den Auszahlungen der komplement¨aren Koalition zu maximieren und damit eine rationale Drohung auszusprechen. Die Bewertung der Strategiekombinationen erfolgt hier also nicht direkt mit den Auszahlungen, sondern mit dem Abstand der erreichten Auszahlungen zu den von der komplement¨aren Koalition erreichten Auszahlungen. Dieser Abstand wird ermittelt, in dem einfach die Werte in jedem Auszahlungsvektor in Tabelle 8.5 voneinander subtrahiert werden. Dies ist in Tabelle 8.6 erfolgt.

		{2, 3}
{1}	A, A	A, B	B, A	B, B
A	(-4, 4)	(-5, 5)	(-5, 5)	(-1,	1)
B	(1, -1)	(0, 0)	(0, 0)	(-1,	1)

Tabelle 8.6: Strategiewahl von Einerund Zweierkoalitionen bei rationalen Drohungen

Die jeweils erste Zahl gibt u ({1}) − u ({2, 3}) an, die zweite den Abstand u ({2, 3}) − u ({1}).

B ist hier f¨ur die Einer-Koalition eine dominante Strategie. Gegeben diese Wahl, entschließt sich die Zweier-Koalition f¨ur die Strategie B, B. Die resultierenden Auszahlung(ssumm)en sind mithin 2 f¨ur eine Zweier-Koalition und 1 f¨ur eine Einer-Koalition unter der Annahme rationaler Drohungen. Die charakteristische Funktion vrD (C) lautet damit