Spieltheorie_WS1213

5.5. ANWENDUNGEN

139

Abbildung 5.7: Signalspiel auf dem Arbeitsmarkt

Die erwartete Produktion ist dann

y = E (η) = 0, 5 · 2 + 0, 5 · 5, 5 = 3, 75.

(5.17)

Die Nullgewinnbedingung stellt sicher, dass

w = y = 3, 75

(5.18)

Der Nutzenwert sowohl f¨ur die f¨ahigeren als auch f¨ur die unf¨ahigeren Arbeiter ist dann gegeben durch

	uA (η) = w −	8e		uA (η = 5, 5) = uA (η = 2) = 3, 75	(5.19)
		η

Es bleibt zu pr¨ufen, ob sich eine der beiden Arbeitergruppen f¨ur die in (5.15) und (5.16) gegebenen beliefs der Unternehmer durch Abweichung besser stellen k¨onnte. Da f¨ur e = 1 der Nutzen sowohl der f¨ahigeren wie auch der weniger f¨ahigen Arbeiter sinkt, existiert dieser Anreiz nicht. Mit anderen Worten: Das beschriebene Pooling-Szenario ist ein perfektes Bayesianisches Gleichgewicht.

Allerdings ist dieses Gleichgewicht nicht das einzig denkbare Gleichgewicht. Untersuchen wir also, ob das folgende separierende Gleichgewicht ebenfalls die Bedingungen f¨ur ein perfektes Bayesianisches Gleichgewicht erf¨ullt:

Die f¨ahigeren Arbeiter w¨ahlen e = 1, die weniger f¨ahigen e = 0. Die Unternehmen formen ihre beliefs gem¨aß

b (η = 2| e = 0) = b (η = 5, 5| e = 1) = 1

(5.20)

auf dem Gleichgewichtspfad und

b (η = 2| e = 1) = b (η = 5, 5| e = 0) = 0

(5.21)

140	KAPITEL 5. NICHTKOOPERATIVE SPIELE III

abseits des Gleichgewichtspfads. Dementsprechend k¨onnen nun die L¨ohne di e- renziert werden, d.h. beide Gruppen erhalten (aufgrund der Null-Gewinnbedingung) ihre jeweilige Produktivit¨at, d.h.

		w (e) =	5, 5		f¨ur e = 1 .	(5.22)
			2		f¨ur e = 0
Damit sind die Nutzen der beiden Arbeitergruppen gegeben durch
uA (w, η, e) = w − η		=	5 2		f¨ur e = 0, η = 2 .	(5.23)
	8e	5, 5 −		8	≈ 4, 05 f¨ur e = 1, η = 5, 5
				,5

Wenig uberraschend,¨ gewinnen die F¨ahigeren und verlieren die weniger F¨ahigen gegen¨uber dem Pooling-Gleichgewicht. Zu untersuchen ist aber auch hier zun¨achst, ob Abweichungen vom unterstellten Verhalten durch die Arbeiter f¨ur die in (5.20) und (5.21) charakterisierten beliefs und damit f¨ur das Lohnangebotsverhalten (5.22) optimal w¨aren. F¨ur einen der f¨ahigeren Arbeiter ist dies o ensichtlich nicht der Fall, da er bei e = 0 nur einen Lohn in H¨ohe von w = 2 bek¨ame, der sich in uA (w = 2, e = 0, η = 5, 5) = 2 uber¨- setzt – was o ensichtlich geringer ist als der Wert in H¨ohe von ca. 4,05. Wenn sich der weniger f¨ahige Arbeiter zu einer formalen Ausbildung entschließen w¨urde, erhielte er gem¨aß (5.22) auch den hohen Lohn, w¨urde aber den Nutzen uA (w = 5, 5, e = 1, η = 2) = 5, 5 − 82 = 1, 5 < 2 realisieren. F¨ur ihn lohnt sich also ein Abweichen ebenfalls nicht. Damit ist gezeigt, dass auch diese Konstellation ein perfektes bayesianisches Gleichgewicht ist. Selbst in diesem sehr einfachen Spiel gibt es also zwei v¨ollig verschiedene Gleichgewichte, ein perfektes bayesianisches Pooling-Gleichgewicht und ein perfektes bayesianisches separierendes Gleichgewicht.

Eine Bemerkung zur Natur des separierenden Gleichgewichts ist noch an-

¨

gebracht: Da beim Ubergang vom Pooling-Gleichgewicht bei e = 0 zum separierenden Gleichgewicht die beiden Gruppen unterschiedlich tangiert werden, existiert kein klares Pareto-Ranking zwischen den beiden Situationen. Dennoch macht ein Blick auf (5.19) und (5.23) klar, dass der Zugewinn der F¨ahigeren im separierenden Gleichgewicht geringer ist als der Verlust der weniger F¨ahigen. Anders gesagt: Die weniger F¨ahigen h¨atten prinzipiell die M¨oglichkeit, die F¨ahigen durch Bestechung am Erwerb einer formalen Qualifikation zu hindern. Dies reflektiert die in diesem Modell getro ene Annahme, dass formale Qualifikation reine Verschwendung ist. Dies ist nat¨urlich keineswegs notwendig.

Abschließend wird noch gezeigt, dass das zweite prinzipiell denkbare PoolingGleichgewicht – die Situation, in der alle Arbeiter eine formale Ausbildung durchlaufen – hier nicht die Eigenschaft eines perfekten bayesianischen Gleichgewichts erf¨ullt.

Die beliefs w¨aren in dieser Situation gegeben

b (η = 2| e = 1) = b (η = 5, 5| e = 1) = 0, 5

(5.24)

5.5. ANWENDUNGEN	141
auf dem unterstellten Gleichgewichtspfad und
b (η = 2| e = 0) = b (η = 5, 5| e = 0) = 0, 5	(5.25)

abseits dieses Pfades.

Der Lohn w¨are aufgrund der Nicht-Unterscheidbarkeit der beiden F¨ahigkeitsgruppen wie in (5.17) und (5.18) durch w = 3, 75 gegeben.

Die Auszahlungswerte w¨aren dann

uA (w = 3, 75, η, e = 1) = w − η			=	3, 75 −	28		= −0, 25		f¨ur η = 2
	8e			3, 75 −		8		≈ 2, 30	f¨ur η = 5, 5
					5,5

(5.26) Wieder muss gepr¨uft werden, ob f¨ur die beliefs (5.24) und (5.25) Abwei-

chung lohnt.

Dies ist diesmal der Fall, da die Entscheidung f¨ur e = 0 ein Nutzenniveau

	von	8e
	uA (w = 3, 75, η, e = 0) = w −			= 3, 75	(5.27)
		η

implizieren w¨urde, so dass f¨ur beide Gruppen von Arbeitern die Entscheidung f¨ur e = 0 vorzuziehen w¨are – und gezeigt ist, dass ein Pooling-Gleichgewicht bei e = 1 nicht existiert. F¨ur die weniger f¨ahigen Arbeiter kann das Argument sogar noch verst¨arkt werden, da sich f¨ur diese ein h¨oheres Auszahlungsniveau bei e = 0 erg¨abe, selbst wenn sie dann eindeutig als weniger f¨ahig eingestuft w¨urden – was in den beliefs (5.24) und (5.25) aber nicht enthalten ist. In diesem Fall w¨are ihre Auszahlung immer noch uA = 2 und damit h¨oher als in (5.26).

Die hier vorgestellte Variante des Modells von Spence (1973) ist denkbar einfach, zeigt jedoch die wichtigsten Merkmale. Auf der Hand liegende Erweiterungen w¨aren die folgenden:

•Anstelle der hier eingef¨uhrten Annahme v¨ollig unproduktiver Signale (d.h. die formale Bildung tr¨agt nichts zur Produktivit¨at bei) kann man auch produktive Signale unterstellen, und damit eine Produktionsfunktion wie in Gleichung (5.12). Dies macht die Modelle zweifelsohne realistischer.

•Anstelle von bin¨aren Auspr¨agungen der F¨ahigkeiten und Signale (f¨ahiger oder weniger f¨ahiger Arbeiter; formale Bildung oder keine formale Bildung) k¨onnen stetig variierbare Variablen angenommen werden – oder wenigstens mehr als zwei Zust¨ande zugelassen werden. Dies sorgt dann bspw. daf¨ur, dass nicht nur ein separierendes Gleichgewicht existiert, sondern dass z.B. vor dem Hintergrund der ”passenden” beliefs alle auf jegliche formale Bildung verzichten oder alle einen mittleren Bildungsgrad w¨ahlen. Weiterhin ist es hier denkbar, dass es zu partiell separierenden Gleichgewichten kommt, in denen sich z.B. die GanzGuten von MittelGuten und den GanzSchlechten mit ihrer Bildungsentscheidung absetzen, ein Unternehmer aber nicht unterscheiden kann, ob er einen MittelGuten oder GanzSchlechten vor sich hat.

142	KAPITEL 5. NICHTKOOPERATIVE SPIELE III

•V¨ollig außen vor gelassen wurde hier die M¨oglichkeit von Gleichgewichten in gemischten Strategien. So ist bspw. denkbar, dass ein Arbeiter mit einer bestimmten F¨ahigkeit im Gleichgewicht zwischen zwei Bildungsentscheidungen stochastisch w¨ahlt, der Unternehmer also wieder nicht mit Sicherheit von dem Signal auf die F¨ahigkeit schließen kann. In diesem Fall ist dann f¨ur die Bildung der beliefs auch in dem einfachen Modell wieder die Verwendung der Bayesianischen Regel notwendig (vgl. Gibbons 1992, p. 202 .)

Diese Auflistung sowie die obige Analyse des sehr einfachen Modells machten jedoch bereits die folgenden Dinge klar, die auch auf andere Modellierungen dynamischer Spiele mit unvollkommener Information ubertragbar¨ sind:

•Auch bei Fokussierung auf perfekte bayesianische Gleichgewichte in reinen Strategien bleiben typischerweise mehrere m¨ogliche Gleichgewichtskonstellationen von Strategien und beliefs ubrig,¨ die ganz unterschiedliche qualitative Eigenschaften aufweisen.

•Von daher hilft auch hier die Spieltheorie nur im Ausnahmefall dabei, ein eindeutiges Gleichgewicht zu identifizieren. Multiple Gleichgewichte sind eher die Regel als die Ausnahme.

•Die Uberlebensf¨ahigkeit von Gleichgewichten kann von relativ geringf¨ugigen Details der Spezifikation abh¨angen.

•Signalspiele erfordern ein sehr hohes Maß an ”Durchblick” der beteiligten Spieler. Anders gesagt: Die Anforderungen der Rationalit¨atspr¨amisse sind in solchen Situationen relativ hoch. Dennoch dienen diese Spiele dazu, empirische ”R¨atsel”, wie eben die hohe Bedeutung von formalen Bildungsabschl¨ussen jedenfalls in Professionen, in denen die F¨ahigkeit schwer zu messen ist, zu verstehen.1

5.5.2Geldpolitik IV: Das Barro-Gordon-Modell bei unbekannter Inflationsaversion der Zentralbank

Auch im Kontext dynamischer Spiele mit unvollkommener Information kann eine auf das Grundmodell von Barro/Gordon (1983) aufbauende Modifikation erl¨autert werden. Dazu lassen wir alle Komplikationen durch Timing und

1Juristen sind daf¨ur ein wohl besonders gut geeignetes Beispiel; hier ist die formale Ausbildung (mit genauem Ergebnis etc.) extrem wichtig f¨ur Einstellungsentscheidungen, weil die relevanten F¨ahigkeiten kaum in einem Einstellungsgespr¨ach abgepr¨uft werden k¨onnen. Dagegen kommt ein Formel I-Pilot sogar ohne F¨uhrerschein aus, weil ein potentieller Nachfolger von Michael Schumacher im Grunde nur ein paar Runden fahren muss um in etwa nachzuweisen, mit welcher Wahrscheinlichkeit (und Geschwindigkeit) er um eine enge Kurve kommt.

5.5. ANWENDUNGEN

143

der m¨oglichen Inflationsaversion des privaten Sektors beiseite und konzentrieren uns auf das Grundmodell des Abschnitts 3.7.4 auf Seite 77, das allerdings nun in einem 2-Perioden-Kontext gespielt wird. Das Modell dieses Abschnitts basiert auf Vickers (1986) und ist auch in Gibbons (1992), p. 208 . kurz beschrieben. Didaktisch wird mit diesem Modell vor allem der Zweck verfolgt, zu zeigen, dass man ein Signalspiel als Teil eines umfassenderen Spiels modellieren kann. Die Informationsunvollkommenheit betri t die Inflationsaversion der Zentralbank. Diese war in der Verlustfunktion 3.38, die hier noch einmal aufgeschrieben werden soll

LG = απ2 + (y − y˜)2

(5.28)

mit α bezeichnet.1 Die privaten Wirtschaftssubjekte wissen nicht genau, ob ein sehr inflationsaverser ”Falke” oder eine nur m¨aßig inflationsaverse ”Taube” die Politik dominiert. Bekannt ist lediglich, dass

α =	αT	mit Wahrscheinlichkeit p	,	(5.29)
	αF	mit Wahrscheinlichkeit (1 − p)

wobei nat¨urlich gelten muss, dass αF > αT .

Der Ablauf des Spiels kann durch die Zeitachse in Abbildung 5.8 charakterisiert werden; dieses Hilfsmittel bietet sich hier v.a. deswegen an, weil die Handlungsvariablen jeweils stetig variierbar sind und daher ein Spielbaum nicht mehr gezeichnet werden kann.

Abbildung 5.8: Timing im Modell von Vickers (1986).

Bei der folgenden Charakterisierung der L¨osung wird eine m¨ogliche Diskontierung der Auszahlungen vermieden, so dass die Auszahlungen in beiden Perioden einfach aufaddiert werden k¨onnen.

Im Hinblick auf das 2-Periodenspiel findet die bereits bekannte Methode der R¨uckw¨artsinduktion Verwendung. Zun¨achst geht es also um die Bestimmung

1Alle Symbole etc. werden genau so verwendet wie in Abschnitt 3.7.4 auf Seite 77.

144	KAPITEL 5. NICHTKOOPERATIVE SPIELE III

von π2. F¨ur gegebene Inflationserwartungen π2e wird die in Abschnitt 3.7.4 auf Seite 77 gefundene Reaktionsfunktion (3.44) diese Frage beantworten. Mit der hier notwendigen Zeitindizierung lautet diese

π2 =	β	βπ2e + (γ − 1) yN ≡ π2 (π2e, αi) , i = F, T,	(5.30)
	αi + β2

wobei angenommen sei, dass der nat¨urliche Output uber¨ die Zeit hinweg konstant ist. Die letzte Schreibweise f¨ur die Reaktionsfunktion dient nur der bequemeren Notation.

Als n¨achstes sind die Inflationserwartungen π2e zu bestimmen. Der private Sektor erleidet einen Verlust in H¨ohe der quadrierten Abweichung der tats¨achlichen von der erwarteten Inflationsrate. Vor dem Hintergrund der unvollkommenen Information uber¨ die wahre Natur des Zentralbankers (5.29) und dessen Verhalten (5.30) ist die Aufgabe des privaten Sektors als gegeben durch

min b · (π		(πe	, αT ) − πe)2	+ (1 − b) · (π (πe, αF ) − πe)2		,	(5.31)
π2e	2	2	2	2 2	2
πe	= πe (b, ...)
2	2
wobei b den belief des privaten Sektors bzgl. der Wahrscheinlichkeit, dass eine
Taube die Zentralbank leitet, bezeichnet. (5.30) und (5.31) bestimmen das
Ergebnis in der zweiten Periode f¨ur gegebene beliefs.
Nun gilt es wieder zwei unterschiedliche Gleichgewichtskonstellationen zu
unterscheiden, n¨amlich separierende und Pooling-Gleichgewichte.
In einem Pooling-Gleichgewicht ist das Signal der Zentralbank π1 wert-
los, d.h. die beliefs sind gegeben durch b = p. Die Inflationserwartungen f¨ur Pe-
riode 2 werden gem¨aß der L¨osung von (5.31) gebildet, die Zentralbank verh¨alt
sich in Abh¨angigkeit von ihrem Typ gem¨aß (5.30). Damit ist das Signalspiel
zu Ende.
Hingegen beinhaltet ein separierendes Gleichgewicht Informationen uber¨
den Typ des Zentralbankers. Leitet der private Sektor aus der Beobachtung
von π1 ab, dass es sich um eine Taube (einen Falken) handelt, wird der be-
lief aufdatiert auf p = 1 (p = 0). Die Erwartungsbildung gem¨aß (5.31) wird
entsprechend angepasst, was zusammen mit (5.30) wieder das Gleichgewicht
ergibt.
Selbst in diesem relativ einfachen Kontext ist die Untersuchung, ob eine be-
stimmte Kombination von Verhaltensweisen und beliefs ein perfektes Bayesia-
nisches Gleichgewicht, eine echte ”Knochenarbeit”, die hier nicht im Einzelnen
geleistet werden soll. Wie immer gilt es, die Konsequenzen einer Verhaltens-
weise gegeben die beliefs durchzuspielen und zu schauen, ob an einer Stelle
einer der Akteure einen Anreiz hat, von der vorgeschlagenen Strategie abzu-
weichen. Als Beispiel sei die folgende Sequenz genannt, deren Validit¨at Schritt
f¨ur Schritt uberpr¨uft werden kann:
• In Periode 1 bilden sich Inflationserwartungen gem¨aß min p·(π (πe, αT ) − πe)2									+
					π1e	1	1	1

5.5. ANWENDUNGEN

145

T, F .

1 1

F

1

1

i

αi+β

1

(1 − p) · (π (πe, α

) − πe)2

mit π (α

) =

β

βπe + (γ − 1) yN

, i =

2

T, F .

1 i

αi+β

1

• Die Inflationsrate in Periode 1 ist gegeben durch π (α

) =

β

βπe + (γ − 1) yN

, i =

2

• Die beliefs bzgl. des Typs des Zentralbankers f¨ur die Erwartungsbildung

0 π1 = π (αF ) in der zweiten Periode sind gegeben durch b = 1 .

1 π1 6= π1 (αF )

•In Periode 2 ist die Erwartungsbildung gegeben durch (5.31), wobei die im letzten Schritt ermittelten beliefs Ber¨ucksichtigung finden.

•In Periode 2 ist die Inflationsrate gegeben durch (5.30) unter Ber¨ucksichtigung der gerade ermittelten Inflationserwartungen.

146	KAPITEL 5. NICHTKOOPERATIVE SPIELE III

Kapitel 6

Verhandlungen

6.1Lernziele

Verhandlungen sind auf allen m¨oglichen Ebenen etwas fast Allt¨agliches. Die Palette dieser Situationen reicht von der Entscheidungsfindung zweier Personen uber¨ die beste Alternative, das (gemeinsame) Wochenende zu verbringen uber¨ bilaterale Lohnverhandlungen zwischen Arbeitnehmern und Arbeitgebern bzw. deren Vertreter bis hin zu internationalen, bioder multilateralen Verhandlungen beispielsweise uber¨ Handelsbeschr¨ankungen oder deren Lockerung. Diese Liste ließe sich fast beliebig verl¨angern und zeigt einmal mehr die große Bedeutung der Spieltheorie als Analysemethode.

In diesem Kapitel soll vermittelt werden, wie spieltheoretische Methoden zur Modellierung und L¨osung von Verhandlungssituationen genutzt werden k¨onnen. In Abschnitt 6.2 auf der n¨achsten Seite werden zun¨achst einige methodische Vorbemerkungen gemacht, da sich in der Spieltheorie zwei sehr verschiedene Arten der Modellierung von Verhandlungen herausgebildet haben, n¨amlich im Rahmen der Theorie kooperativer Spiele und als non-kooperative Spielsituation.

Abschnitt 6.3 auf Seite 150 widmet sich danach der Theorie non-kooperativer Verhandlungen und leitet die L¨osung f¨ur eine sehr allgemeine Klasse von Verhandlungssituationen ab. Den analytischen Rahmen bildet dabei das RubinsteinSpiel, das zwar nur in einer relativ einfachen Form dargestellt wird; auf der Hand liegende Erweiterungen, die alle auf inzwischen bereits bekannten Modellierungsprinzipien beruhen, lassen hier jedoch eine sehr weitgehende Abbildung auch komplexerer Verhandlungssituationen (v.a. die Einbeziehung von Unsicherheit) zu.

Der dogmengeschichtlich altere¨ Ansatzpunkt der Modellierung von Verhandlungen erfolgte im Rahmen der Theorie kooperativer Spiele. Dieser Ansatz und zwei verschiedene axiomatisch begr¨undete L¨osungen, die Nash-Ver- handlungsl¨osung sowie die Kalai-Smorodinsky-L¨osung, werden in Abschnitt 6.4 auf Seite 159 behandelt.

In Abschnitt 6.5 auf Seite 167 werden auch in diesem Kapitel einige An-

147

148	KAPITEL 6. VERHANDLUNGEN

wendungen die Verwendung der Konzepte in konkreten Verhandlungssituationen demonstrieren.

Alle Modellierungen in diesem Kapitel gehen aus didaktischen Gr¨unden von nur jeweils zwei Verhandlungspartnern aus. Die Erweiterung auf mehr beteiligte Parteien ist von der Idee her einfach m¨oglich. Allerdings werden die Situationen deutlich komplizierter (aber eben nicht komplexer), so dass hier darauf verzichtet wird.

6.2Methodische Vorbemerkung

Trotz der bereits im letzten Abschnitt begr¨undeten Relevanz von Verhandlungen sind diese in den meisten okonomischen¨ Modellen nicht wirklich enthalten. So wird beispielsweise die Marktpreisbildung als Ergebnis einer anonymen Interaktion zwischen ”vielen” Individuen auf wenigstens einer Marktseite betrachtet – womit Verhandlungen keine Rolle mehr spielen. Allenfalls wird darauf hingewiesen, dass im Hintergrund die gedankliche Konstruktion eines ”Walrasianischen Auktionators” f¨ur den Ausgleich von Angebot und Nachfrage auf einem Markt oder einem System von M¨arkten sorgt.

Dies liegt nicht etwa daran, dass die Wirtschaftstheorie die Bedeutung von Verhandlungen nicht erfasst h¨atte. Der Grund f¨ur die weitgehende Absenz von Verhandlungen in den Standardmodellen der okonomischen¨ Theorie ist vielmehr die schwierige Modellierbarkeit dieses sozialen Ph¨anomens. Reale Verhandlungen sind n¨amlich ein durchaus komplexer Prozess, bei dem psychologische Aspekte, das ”framing” der Verhandlungen, die Reputation der Verhandlungspartner, deren Konzentrationsf¨ahigkeit und viele Dinge mehr eine wichtige Rolle spielen. ”Das rechte Wort zur rechten Zeit”, die ”pers¨onliche Chemie” zwischen den Personen am Verhandlungstisch haben ohne Zweifel eine in konkreten Verhandlungssituationen nicht zu untersch¨atzende Bedeutung.1 Die Spieltheorie ist nicht in der Lage – und intendiert auch gar nicht

– diese ”weichen” Aspekte, deren Bedeutung hier gar nicht in Abrede gestellt werden soll, abzubilden. Daf¨ur gelingt es ihr aber eher, eine Verhandlungssituation in ihren wesentlichen Elementen zu beschreiben – bzw. auch darauf aufmerksam zu machen, was es f¨ur eine solche Beschreibung braucht und insbesondere auch eine konkrete L¨osung daf¨ur anzugeben. Im Kern sind dies drei Elemente, n¨amlich die Beschreibung

•der Pr¨aferenzen der Verhandlungspartner;

•der m¨oglichen Auszahlungen bei erfolgreicher Verhandlung;

1Neben dem Studium der Spieltheorie k¨onnen daher auch Dinge wie Rollenspiele oder

¨

andere gruppendynamische Ubungen durchaus auf eine erfolgreiche Verhandlungsf¨uhrung vorbereiten. Dies kann man – trotz der methodischen ”Welten” die hier dazwischen liegen m¨ogen – durchaus als Komplement zum Studium der Spieltheorie ansehen.