1.8. Пример решения задачи на плоскую сходящуюся систему сил

Д

Рис. 1.33

C

Z

Y

ва стержня АС и ВС соединены шарнирно в точке С, к которой через блок D подвешен груз 1 весом 12 Н (рис. 1.33). Определить реакцию стержня ВС, если угол  = 60⁰.

Решение. Решаем задачу по изложенному алгоритму.

1. Выбираем правую систему отсчета ZOY.

2. Вырезаем узел С и рассмотрим его равновесие.

3. Активных сил к узлу С не приложено.

4. От узла С отбрасываем невесомые стержни АС и ВС и показываем реакции R_A и R_B. Эти реакции направлены вдоль стержней. Условимся рассматривать их растянутыми. Отбрасываем нить и показываем на рисунке реакцию Т нити. Нить растянута. Величина реакции Т равна весу G груза 1.

5. На точку С действует плоская система сходящихся сил, поэтому аналитические условия равновесия выражаются двумя уравнениями.

 F_iY =  Y_i = 0 = – R_Asin + R_Bcos + T = 0; (1)

 F_iZ =  Z_i = 0 = R_Acos + R_Bsin = 0. (2)

6. Из уравнения (2) справедливо R_A = – R_B(sincos) = – R_Btg. При подстановке R_A в уравнение (1) имеем

R_Btgsin + R_Bcos + T = 0.

Откуда R_B = –Ttgsin + cos = – 121,7320,866 + 0,5 = – 6 кН. Так как R_B  0, то стержень ВС сжат.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сформулировать определение термина «проекция силы на ось».

2. Записать формулы для определения проекций силы F на координатные оси декартовой системы отсчета OXYZ.

3. Записать формулу для определения силы F через компоненты этой силы в декартовой системе отсчета OXYZ.

4. Записать формулы для определения направляющих косинусов в декартовой системе отсчета OXYZ.

5. Записать формулы для определения проекции равнодействующей системы сходящихся сил в декартовой системе отсчета OXYZ.

6. Записать формулу, выражающую геометрическое условие равновесия сходящейся системы сил.

7. Записать уравнения равновесия для пространственной системы сходящихся сил в декартовой системе отсчета OXYZ.

8. Записать уравнения равновесия для плоской системы сходящихся сил в декартовой системе отсчета OXYZ.

1.9. Пара сил

Пару сил в механике рассматривают как одно из основных понятий, наряду с понятием силы.

Пара сил – система двух параллельных, противоположно направленных и равных по модулю сил, не лежащих на одной прямой.

Плоскость действия пары сил – плоскость, в которой находятся линии действия сил.

Плечо пары сил – кратчайшее расстояние (длина перпендикуляра) между линиями действия сил, составляющих пару сил.

На рис. 1.34 изображена пара сил, плоскость действия которой лежит в плоскости XOY системы отсчета XOY.

Силы F₁, F₂ образуют пару сил. F₁ = F₂; F₁ = – F₂. Однако силы пары не уравновешиваются, так как они направлены не по одной прямой. Пара сил стремится произвести вращение тела, к которому она приложена. Действие пары сил на тело характеризуется ее моментом.

Д

Рис. 1.34

ля количественной характеристики действия пары сил на тело и указания направления, в котором пара сил стремится вращать тело, вводится понятие алгебраического момента пары сил.

Алгебраический момент пары сил – величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил на ее плечо.

M = ± F·h.

Момент пары сил считают положительным, если пара сил стремится повернуть тело против вращения часовой стрелки, и отрицательным, если в сторону вращения часовой стрелки. В системе СИ момент пары сил измеряется в Н·м.

Н

Рис. 1.35

а рис. 1. 35 изображена пара сил (F₁, F₂), линии действия которых лежит в плоскости XOY.

Момент пары сил – векторная мера механического действия пары, равная моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы.

Момент пары сил изображается вектором М. Вектор момента М пары сил (F₁, F₂) направлен перпендикулярно к плоскости действия пары сил в сторону, откуда видно пару сил, стремящуюся вращать плоскость ее действия в сторону, противоположную вращению часовой стрелки. Согласно определению (см. рис. 1.35), M  j, M  i, M=F₁h. Таким образом, пара сил полностью характеризуется ее моментом M.

Теорема. Пары сил, лежащие в одной плоскости, эквивалентны, если их алгебраические моменты численно равны и одинаковы по знаку.

Доказательство этой теоремы несложно и здесь оно не приводится.