2.7. Скорость точки

Скорость точки при естественном способе задания движения определяется по формуле

V = τ·(dS/dt) = τ· .

Символ (·) означает однократное дифференцирование функции S по времени.

Как известно, вектор V скорости точки всегда направлен по касательной к траектории движения. В последней формуле dS/dt является проекцией скорости V на касательную.

Таким образом, проекция скорости на касательную равна первой производной по времени от уравнения движения S = f(t). Проекция скорости на касательную может быть положительной, отрицательной и равной нулю.

Если в некоторый момент времени dS/dt > 0, то в этот момент функция S = f(t) возрастает, т. е. точка движется в сторону увеличения дуговой координаты S и направление вектора скорости V совпадает с направлением орта τ (см. рис. 2.14).

Если dS/dt < 0, то в этот момент времени функция S убывает и, следовательно, направление скорости V противоположно направлению орта τ.

Если, непрерывно изменяясь, производная dS/dt при переходе через значение dS/dt = 0 изменяет знак, то дуговая координата S достигает максимума или минимума, т. е. изменяется направление движения точки.

Модуль скорости V находят по формуле V = |dS/dt|.

2.8. Ускорение точки

Ускорение а точки всегда направлено в сторону вогнутости траектории движения, лежит в соприкасающейся плоскости (см. рис. 2.14) и находится по формуле

a = а_τ+ а_n ,

где а_τ – касательное ускорение; а_n – нормальное ускорение.

Ускорение точки равно геометрической сумме двух векторов, один из которых направлен по главной нормали и называется нормальным ускорением, а другой направлен по касательной и называется касательным ускорением.

Касательное ускорение а_τ характеризует быстроту изменения величины скорости V и находится по формуле

а_τ = τ а_τ = τ (d₂S/dt²) = τ (

где а_τ = d₂S/dt² = – проекция ускорения a точки на касательную.

Таким образом, проекция ускорения точки на касательную равна второй производной по времени от дуговой координаты S =f(t) или первой производной по времени от проекции скорости на касательную.

Эта проекция (а_τ = d₂S/dt² = ) имеет знак (+), если направления касательного ускорения а_τ и орта τ совпадают, и знак (–), если они противоположны по направлениям.

Нормальное ускорение характеризует изменение направления скорости и находится по формуле

а_n = n(V²/ρ).

Так как V²/ρ > 0, то нормальное ускорение всегда совпадает с направлением орта n, т. е. всегда направлено к центру кривизны траектории движения точки.

При прямолинейном движении точки радиус кривизны траектории движения ρ = и, следовательно, а_n = V²/ρ = V²/ = 0.

Таким образом, нормальное ускорение существует только при криволинейном движении.

В случае естественного способа задания движения, когда известна траектория точки, а следовательно, ее радиус кривизны ρ в любой точке и уравнение движения S = f(t), можно найти проекции ускорения точки на естественные координатные оси и по ним определить модуль и направление ускорения по формулам:

| а | = ; cos(а, i) = а_τ/ a; cos(а, n) = а_n/ a.

Скорость и ускорение точки при естественном и координатном способах задания движения точки связаны следующими зависимостями:

V = |dS/dt| = ;

| а | = = ;

| а_τ | = | |.