Следствия из теоремы:

1. Пару сил, не изменяя ее действия на твердое тело, можно как угодно поворачивать и переносить в любое место плоскости ее действия.

2. У пары сил можно изменять плечо и модуль силы, сохраняя при этом алгебраический момент пары и плоскость действия.

С

Рис. 1.36

уть теоремы и ее следствий иллюстрируется рис. 1.36, на котором приведена пара сил (F, F₁). Плоскость ее действия совпадает с плоскостью YOZ.

Теорема. Пары сил в пространстве эквивалентны, если их моменты геометрически равны.

Доказательство этой теоремы также достаточно просто и здесь не приведено.

Из приведенных теорем следует вывод: не изменяя действия пары сил на твердое тело, пару сил можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия, а также изменять ее силу и плечо, сохраняя неизменными модуль и направление ее момента.

Таким образом, вектор момента пары сил можно переносить в любую точку, то есть момент пары сил является свободным вектором.

Вектор момента пары сил определяет три элемента: положение плоскости действия пары; направление вращения; числовое значение (модуль) момента.

Отметим аналогию: если точку приложения вектора силы можно помещать где угодно на линии действия этой силы (скользящий вектор), то векторный момент пары сил можно приложить в любой точке твердого тела (свободный вектор).

1.10. Сложение пар сил

Пусть заданы три пары сил, плоскостями действия которых являются плоскости XOY, XOZ, YOZ (рис. 1. 37). Векторные моменты этих пар сил обозначим М₁, М₂, М₃. Так как эти векторы свободные, то переместив их в начало системы отсчета XOYZ, получим систему векторов, приложенных в одной точке. Сложив графически эти векторы, получим один вектор М = М₁ + М₂ + М₃.

Е

Рис. 1.37

сли таких векторов много, то в общем случае имеем M =  M_i (рис. 1.37).

Векторный момент пары сил, эквивалентный данной системе пар сил в пространстве, равен сумме векторных моментов заданных пар сил.

1.11. Условия равновесия пар сил

Теорема. Для равновесия пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы величина векторного момента эквивалентной пары сил равнялась нулю или векторный многоугольник, построенный на векторных моментах заданных пар сил, был замкнут:

M =  M_i = 0.

В аналитической форме условия равновесия пар сил в пространстве выражаются системой уравнений:

M_Х =  M_iХ = 0; M_Y =  M_iY = 0; M_Z =  M_iZ = 0,

где M_X, M_Y, M_Z – проекции векторного момента эквивалентной пары сил на координатные оси OX, OY, OZ.

Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций векторных моментов пар сил на каждую координатную ось равнялись нулю.

В общем случае пару сил можно уравновесить только парой сил и нельзя уравновесить одной силой.

1.12. Вектор момента силы относительно точки

Момент силы F относительно точки О изображается вектором M₀(F), приложенным в этой точке и направленным перпендикулярно к плоскости, содержащей силу и точку, в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть силу F, стремящейся вращать эту плоскость в сторону, обратную вращению часовой стрелки (рис. 1.38).

М

Рис. 1.38

одуль M₀(F) этого вектора (M₀(F)) равен произведению модуля силы F на ее плечо h относительно точки О. M₀(F) = Fh. Плечо h является кратчайшим расстоянием от этой точки до линии действия силы, то есть длиной перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы.

Рис. 1.38

Если из точки О в точку А приложения силы F провести радиус-вектор r, то вектор момента силы относительно точки можно выразить следующим векторным произведением:

M₀(F) = rF; M₀(F) = rFsin(r, F) = rFsin = Fh.