2.24. Сложение скоростей

Р

Рис. 2.45

ассматривается сложное движение точки на плоскости (рис. 2.45).

Поскольку абсолютное движение представляет собой сумму относительного и переносного движений, то справедлива следующая теорема: при сложном движении абсолютная скорость V точки равна геометрической сумме относительной V_r и переносной V_e скоростей:

V = V_r + V_e.

Построенная на рис. 2.45 фигура называется параллелограммом скоростей. Модуль абсолютной скорости находится по формуле

2.25. Сложение ускорений (теорема кориолиса)

Теорема. При сложном движении точки ее абсолютное ускорение равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

a = a_r + a_e + a_c ,

где a_r – относительное ускорение; a_e – переносное ускорение; a_c – ускорение Кориолиса.

Доказательство теоремы Кориолиса достаточно сложно и здесь не приводится.

Кориолисовым ускорением называется составляющая абсолютного ускорения точки в сложном движении, равная удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного вращения на относительную скорость точки:

a_c = 2(ω_exV_r).

Согласно правилу векторного произведения a_{c ┴} ω_e, a_{c ┴} V_r.

Кориолисово ускорение характеризует:

1. Изменение модуля и направления переносной скорости точки вследствие ее относительного движения;

2. Изменение направления относительной скорости точки вследствие вращательного переносного движения.

Н

а) б)

Рис. 2.46

апример, если человек идет равномерно вдоль радиуса равномерно вращающейся платформы, то относительной скоростью является скорость его движения вдоль радиуса, а переносной – скорость той точки платформы, где он находится в данный момент времени (рис. 2.46).

Пусть в момент времени t человек занимает на платформе положение, показанное на рис. 2.46,а, а в момент времени t+∆t положение, показанное на рис. 2.46,б.

Так как относительное движение равномерное и прямолинейное, то относительное ускорение человека a_r = 0. Однако за время ∆t относительная скорость изменяется по направлению, вследствие вращения подвижной системы отсчета, закрепленной на платформе.

За время ∆t происходит изменение модуля переносной скорости от V_e = ω_e·r до V_e = ω_e·R вследствие относительного перемещения человека. Указанные изменения относительной V_r и переносной V_e скоростей и вызывают появление кориолисова ускорения.

Модуль кориолисова ускорения определится как модуль векторного произведения:

a_c = 2ω_e·V_r·sin(ω_e,V_r).

Кориолисово ускорение равно нулю в трех случаях:

1. если ω_e = 0, т. е. в случае поступательного переносного движения или в момент обращения в нуль угловой скорости непоступательного переносного движения;

2. если V_r = 0, т. е. в случае относительного покоя точки или в момент равенства нулю относительной скорости движущейся точки;

3. если sin(ω_e,V_r) = 0, т. е. в случае, когда вектор относительной скорости V_r и вектор переносной угловой скорости ω_e параллельны (V_r || ω_e).

Направление кориолисова ускорения определяется по правилу векторного произведения. a_{c ┴} V_r, a_{c ┴} ω_e и направлено в сторону, откуда поворот вектора ω_e к вектору V_r для совмещения их направлений виден происходящим против хода часовой стрелки. Поворот осуществляется на угол меньше 180⁰.

П

Рис. 2.47

ример. Пусть векторы ω_e и V_r лежат в горизонтальной плоскости и направлены так же, как и единичные векторы i, j правой системы отсчета (рис. 2.47).

По правилу векторного произведения вектор a_c ускорения Кориолиса направлен по отношению к векторам ω_e и V_r так же, как и единичный вектор k по отношению к векторам i и j.

Для определения направления кориолисова ускорения используется правило Жуковского: для определения направления ускорения Кориолиса необходимо относительную скорость V_r точки спроецировать на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения, и повернуть эту проекцию в той же плоскости на угол 90⁰ в сторону переносного вращения.

Для иллюстрации правила Жуковского рассмотрим движение точки по образующей конуса с относительной скоростью V_r под углом α от его вершины к основанию (рис. 2.48).

М

Рис. 2.48

одуль кориолисова ускорения равен

a_c=2ω_e·V_r·sin(180⁰-α).

На рис. 2.48 – проекция относительной скорости V_r на плоскость, перпендикулярную (плоскость на рисунке заштрихована) оси переносного вращения. Направление ускорения Кориолиса a_c совпадает с направлением единичного вектора i неподвижной системы отсчета X₁O₁Y₁Z₁.

Рис. 2.48

Для закрепления теоретического материала необходимо выполнить курсовое задание К 4.