1.26. Пространственная произвольная система сил

1.26.1. Момент силы относительно оси

П

Рис. 1.66

оложим, что к твердому телу в точке А приложена сила F (рис. 1.66).

Для того чтобы вычислить момент этой силы относительно оси OZ, следует спроецировать силу F на плоскость П, перпендикулярную оси OZ, а затем вычислить момент ее проекции F_XY на эту плоскость относительно точки О пересечения оси OZ с плоскостью П, приписав этому моменту знак «+» или «–». Отсюда следует, что момент силы относительно оси является скалярной величиной.

Моментом силы F относительно оси OZ называется взятое со знаком «+» или «–» произведение модуля проекции F_XY силы F на плоскость, перпендикулярную оси, на ее плечо h₁ относительно точки О пересечения оси с плоскостью П.

M_0Z(F) = ± F_XY·h₁.

Момент силы относительно оси считается положительным, если, смотря навстречу оси OZ, можно видеть проекцию F_XY силы F , стремящейся вращать плоскость П вокруг оси OZ в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.

Момент силы относительно оси изображается отрезком, отложенным на оси OZ от точки О в положительном направлении, если M_OZ(F) > 0, и отрицательном – если M_OZ(F) < 0.

Момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:

1. если F_XY = 0, т. е. линия действия силы параллельна оси;

2. если h₁ = 0, т. е. линия действия силы пересекает ось.

Таким образом, если сила и ось лежат в одной плоскости, то момент силы относительно оси равен нулю.

1.26.2. Аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей

Разложим силу F на компоненты по координатным осям (рис. 1.67):

F

Рис. 1.67

= F_x + F_Y + F_Z.

Смотря с положительного направления отсчета каждой из координатных осей, определим, какие из компонент F_x, F_Y, F_Z вызывают вращение параллелепипеда относительно координатных осей. При этом плечами сил F_x, F_Y, F_Z относительно соответствующих координатных осей называются кратчайшие расстояния от линий их действия до осей. Так, плечо силы F_Y относительно оси ОХ равно модулю координаты Z, а плечо силы F_Z относительно оси ОХ равно модулю координаты Y.

Как и ранее, момент силы относительно оси считается положительным, если, смотря с положительных направлений координатных осей, можно видеть силы F_x, F_Y, F_Z, поворачивающие параллелепипед в стороны, противоположные вращению часовой стрелки.

M_OX(F) = F_Z·y – F_Y·z; M_OY(F) = F_X·z – F_Z·x; M_OZ(F) = F_Y·x – F_X·y.

В полученных выражениях x, y, z – модули координат точки приложения силы F.

Таким образом, для того чтобы определить момент силы относительно оси, силу F раскладывают на составляющие по координатным осям и затем находят моменты составляющих этой силы относительно соответствующих координатных осей.

Необходимо еще раз отметить, что силы, параллельные осям, вращения параллелепипеда относительно этих осей не производят.

1.26.3. Приведение пространственной произвольной системы сил к заданному центру

Пространственная произвольная система сил – система сил, линии действия которых как угодно произвольно расположены в пространстве.

В качестве примера рассмотрим (рис. 1.68) пространственную систему сил (F₁, F₂, F₃). При этом сила F₁ лежит в плоскости XOZ и параллельна оси ОХ. Сила F₂ лежит в плоскости XOY и параллельна оси OY. Сила F₃ лежит в плоскости YOZ и параллельна оси OZ.

П

Рис. 1.68

оследовательно применяя метод Пуансо к заданной системе сил, приведем ее к началу систему отсчета XOYZ. Тогда система сил (F₁, F₂, F₃) будет эквивалентна системе сил (F₁, F₂, F₃) и системе присоединенных пар сил (M_o(F₁), M_o(F₂), M_o(F₃)), приложенных в точке О. Так как система векторов приложена в одной точке, то одноименные векторы можно сложить. В результате этих операций получим главный вектор сил R^* = F₁+ F₂ + F₃ и главный момент присоединенных пар сил M^* = M_o(F₁)+ M_o(F₂)+ M_o(F₃).

Рис. 1.68

Таким образом, система сил (F₁, F₂, F₃) заменена одной силой R^* и одной парой сил с моментом M^*. Согласно методу Пуансо главный вектор сил R^* не зависит от положения точки приведения и может быть помещен в любую точку пространства.

Полученный вывод можно распространить на любую произвольную пространственную систему сил.

Модуль и направление главного вектора R^* определяют по формулам:

;

cos(R^*, i) = ∑ F_iX/R^*; cos(R^*, j) = ∑ F_iY/R^*; cos(R^*, k) = ∑ F_iZ/R^*.

Модуль и направление главного момента М^* определяют по следующим формулам:

;

cos(М^*, i) = ∑М_ix/М^*; cos(М^*, j) = ∑М_iY/М^*; cos(М^*, k) = ∑М_iz/М^*.

Момент каждой из сил относительно координатных осей вычисляют по формулам:

M_iX = F_iZ·y_i – F_iY·z_i;

M_iY = F_iX·z_i – F_iZ·x_i;

M_iZ = F_iY·x_i – F_iX·y_i.