1.10. Дифракция Фраунгофера

Дифракция рассматривает процессы отклонения направления распространения света от прямолинейного при встрече с некоторыми препятствиями или при отражении от них. В случае дифракции Фраунгофера рассматривается падение на препятствие плоской волны (бесконечно удаленный источник света) и подразумевается, что зона наблюдения удалена от препятствия на достаточно большое расстояние (находится на бесконечности). Коротко говоря, это “дифракция в параллельных лучах”.

Как Вы увидите, основные задачи дифракции Фраунгофера мы, собственно, уже решили. Просто мы говорили о волнах вообще, а словом дифракция обычно обозначают именно оптические явления, поведение в том или ином случае световой (электромагнитной) волны.

1.10.1. Дифракция от щели

Так как дифракционная картина возникает в результате интерференции вторичных волн, ей присущи типичные для интерференции черты – неравномерное распределение энергии в пространстве.

Рис. 1.11.1

В этом смысле типична картина, возникающая при освещении параллельным пучком длиной узкой щели (рис.1.11.1). Здесь в качестве зон Френеля выбирают не кольца, а полосы, параллельные краям щели. Размеры такой зоны зависят от угла, под которым ведется наблюдение света, прошедшего через щель.

Рассмотрим лучи света, идущие под углом φ к направлению падающего света; b – разность хода между крайними лучами. Разобъем ширину щели «a» на зоны так, чтобы разность хода лучей от краев зон равнялась λ/2. Всего в нашей щели уместится b/ (λ/2) зон. Так как b=a^.sin φ и зависит от угла φ, число зон Френеля, которые уложатся на ширине щели, будет зависить от угла φ.

Площади зон Френеля в данном случае одинаковы, следовательно одинаковы и амплитуды колебаний, возбуждаемые в фокальной плоскости оптической системы L₂, прошедших каждую зону. Следовательно, вторичные волны от соседних зон полностью друг друга гасят.

Если на ширине щели уложится четное число зон, то при наложении все вторичные волны погасят друг друга, в соответствующих направлениях интенсивность света будет равна нулю. Такие направления определяются соотношением:

,

В других направлениях (φ’ ) интенсивность света будет иметь максимальное значение. Это те направления, для которых на ширине щели «a» уложится нечетное число зон Френеля.

;

В прямом направлении (φ = 0 ) вся щель действует как одна зона Френеля b = 0 . В этом направлении свет распространяется с наибольшей интенсивностью.

Рис. 1.11.2

На рис. 1.11.2 – представлен график распределения интенсивности света в фокальной плоскости оптической системы L₂ при дифракции на одной щели. Эта картина справедлива при дифракции монохроматического света, то есть, света с одной длиной волны λ. Центральный максимум 1 соответствует углу φ = 0 . Интенсивность центрального максимума мы принимаем за единицу.

Максимумы 2, по обе стороны от центрального максимума, соответствует углу , их интенсивность много меньше и составляет 0.047 от интенсивности центрального максимума.

Максимум 3 получается при угле φ” , равном: и так далее.

В белом свете для каждой длины волны получается свой максимум и минимум, которые частично или полностью накладываются друг на друга. По обе стороны от центрального максимума, который не разложен в спектр, располагаются максимумы для различных дли волн. Таким образом происходит разложение света в спектр. Причем, первый порядок спектра не налагается друг на друга, во втором наблюдается частичное наложение и так далее.

Ранее мы получили такое выражение для углового распределения амплитуды от системы точечных источников, от “цепочки” источников длиной b:

.

Ввиду особой важности да и сложности понимания этого результата получим его еще раз - другим способом.

В связи с рассмотрением явлений дифракции формулируется принцип Гюйгенса-Френеля. Согласно этому принципу элементарный участок волнового фронта считается точечным источником вторичных волн, огибающая которого и является “новым” фронтом волны. В случае дифракции на щели в качестве таких источников выбираются узкие полоски (вдоль щели), которые являются источниками цилиндрических когерентных волн (рис. 1.11.3).

X

b

0 

Рис. 1.11.3

Электромагнитные колебания в удаленной зоне наблюдения подсчитывается как сумма колебаний волн, пришедших от таких источников.

На этот раз мы проведем их сложение с помощью векторной диаграммы. Амплитуда вторичной волны пропорциональна ширине элементарной полоски: , а начальная фаза колебаний зависит от координаты выбранной полоски: . Таким образом, разность фаз колебаний от соседних элементарных полосок шириной x составит . На такой угол будут повернуты по отношению друг к другу соответствующие векторы на фазовой диаграмме.

При стремлении ширины полоски x к нулю образованная элементарными векторами ломаная превращается в дугу окружности радиуса R, угловой размер дуги (рис. 1.11.4)

E_

R

 



E₀

Рис. 1.11.4

.

При изменении угла  угловые размеры дуги изменяется. Но длина дуги, равная сумме модулей (длин) элементарных векторов, считается постоянной:

.

Это позволяет нам определить радиус дуги и амплитуду суммарных колебаний (см. рисунок) при произвольном :

; .

Как видите, мы получили то же выражение, что и раньше. Но векторная диаграмма позволяет нам нагляднее представить причины обращения амплитуды суммарных колебаний в нуль и достижение максимумов.

При  дуга превращается в окружность, амплитуда суммарных колебаний равна нулю. Максимумы достигаются при  и, (приблизительно) при 2k.

Эти ситуации показаны на рисунке. При =0 все элементарные векторы лежат на прямой, амплитуда суммарных колебаний максимальна и равна E₀. По мере увеличения угла наблюдения  и, соответственно, угла  амплитуда колебаний уменьшается и при  обращается в нуль. Затем дуга скручивается в спираль и максимум достигается приблизительно в тот момент, когда она представляет собой полторы окружности (2, ). При этом амплитуда колебаний равна примерно диаметру окружности: . Затем спираль становится “двойной окружностью”, амплитуда колебаний снова обращается в нуль (3) (рис. 1.11.5) и т.д.

1

2

E_

3

E_ E₀

E_0

Рис. 1.11.5