9.2. Однолинзовая система [1-4]

9.2.1. Линзы как элементы, выполняющие преобразование Фурье

Пусть оптическая система состоит из одного элемента - тонкой идеальной (без аберраций) линзы. Покажем, что такая простейшая система может выполнять функцию оптического процессора, выполняющего преобразование Фурье. Будем считать, что линза с фокальным расстоянием F и апертурой D располагается в плоскости  между входной (х,у) и выходной (х',у') плоскостями соответственно на расстоянии d0 и d1 (см. рис. 9.2.1).

Как уже ранее отмечалось, линза является элементом, осуществляющим квадратичную фазовую модуляцию. Это означает, что распределение поля падающей на линзу волны Y x (x ,h ) будет связано с распределением поля световых колебаний за линзой Y 'x (x ,h ) соотношением

(9.2.1),

где так называемая модуляционная характеристика линзы Т(x , h ) равна  

 

Рис. 9.2.1. Однолинзовая система. 

(9.2.2)

где

(9.2.3)

Рассчитаем теперь переходную функцию однолинзовой системы. Для простоты будем считать, что апертура линзы существенно превосходит апертуру падающего на него светового пучка. Возьмем за основу формулу (1.2.40) гл. 1, исключив из нее легко учитываемый постоянный фазовый множитель -iexp(ikz). В соответствии с этой формулой входной сигнал y (х,у) после прохождения расстояния d₀ преобразуется в сигнал

(9.2.4).

Согласно (9.2.1 - 9.2.3), сразу за линзой сигнал принимает вид

(9.2.5).

Воспользовавшись формулой

,

получаем выражение для сигнала в выходной плоскости (после прохождения на расстоянии d1)

(9.2.6).

Используя выражения (9.2.4-9.2.6), запишем теперь в явном виде связь между входным y (х,у) и выходным y (х',у') сигналами

(9.2.7).

Отсюда видно, что переходная функция однолинзовой системы равна

  (9.2.8)

Положим d0=d1=F. В этом случае (9.2.8) принимает вид

(9.2.9)

Используя далее соотношение

(9.2.10)

и, полагая  , получаем для переходной функции простое выражение

(9.2.11)

Если теперь ввести обозначения

(9.2.12)

то интеграл суперпозиции (9.2.7) можно привести к виду

(9.2.13)

Отсюда видно, что при выполнении условия d0=d1=F линза выполняет Фурье-преобразование сигнала: ее задняя фокальная плоскость является спектральной плоскостью входного сигнала. Таким образом, линза может предельно просто выполнять математическую операцию, представляющую трудность даже для сложных электронных устройств.

Заметим, что спектр с точностью до легко учитываемого фазового множителя будет формироваться в фокальной плоскости даже в том случае, когда d0>F. При этом условии выражение (9.2.7) приводится к виду (промежуточные выкладки мы опускаем)

(9.2.14)

Фазовый множитель

, (9.2.15)

не зависящий от вида входного сигнала, легко учитывается при последующей обработке.