9.2.2. Формирование изображения [1]

Конечно, наиболее известным свойством линз является их способность формировать изображение. Если предмет пемещен перед линзой и освещен, то при определенных условиях в другой плоскости возникает распределение интенсивности, которое очень напоминает предмет. Это распределение называется изображением предмета. Изображение может быть действительным в том смысле, что в плоскости за линзой возникает действительное распределение, и мнимым в том смысле, что свет за линзой кажется исходящим из новой плоскости, расположенной перед линзой.

Предположим, что плоский предмет, находящийся на расстоянии d0 перед положительной линзой, освещен монохроматическим светом. Обозначим комплексное поле непосредственно за предметом через y (x,y) Распределение поля, которое возникает на расстоянии d1 за линзой, обозначим через y '(x',y'). Наша задача - определить условия, при которых распределение поля y ' можно с уверенностью назвать "изображением" распределения поля в плоскости предмета y .

Ввиду линейности явления распространения волн поле y ' можно представить в виде интеграла суперпозиции (9.1.5). Тем самым свойства системы, создающей изображение, будут полностью описаны с помощью импульсного отклика h (см. (9.2.8)).

Чтобы оптическая система давала высококачественное изображение, поле y ' должно как можно меньше отличаться от y . Это означает, что импульсный отклик должен приближенно походить на d -функцию, т.е.

  (9.2.16)

где K - комплексная постоянная, М - увеличение системы, а знак плюс или минус учитывает возможность как прямого, так и обратного изображения. Поэтому "плоскостью изображения" мы будем называть ту плоскость, где (9.2.16) выполняется лучше всего.

Преобразуем (9.2.8) к виду

(9.2.17)

Соотношения (9.2.17) играет важную роль при определении зависимости между y и y '. Однако без дальнейших упрощений трудно определить условия, при которых распределение y ' можно с уверенностью назвать изображением распределения y .

Самые неприятные члены в приведенном выше выражении для импульсного отклика - это члены, содержащие квадратичные фазовые множители. Заметим, что два из них:

(9.2.18)

не зависят от координат линзы (x , h ). Эти члены определяют фазовое искривление в плоскостях (x',y') и (x,y). Если бы мы решили рассматривать формирование изображения между двумя сферическими поверхностями, а не между двумя плоскостями, эти члены можно было бы исключить. Однако можно показать, что и в случае формирования изображения между двумя плоскостями оба эти члена несущественны.

Опуская множитель  , заметим, что в подавляющем большинстве представляющих интерес случаев конечной целью задачи формирования изображения является получение некоторого распределения света, которое будет воспринято детектором, реагирующим только на интенсивность (например, фотопленкой). Так как рассматриваемый член изменяет только распределение фазы, он никак не будет влиять на результаты измерения интенсивности и, следовательно, может быть опущен.

К сожалению, от фазового множителя  не удается освободиться столь же просто, поскольку он зависит от переменных интегрирования (x,y) интеграла суперпозиции. Однако в большинстве случаев, представляющих интерес, от него тоже можно избавиться. Если система, создающая изображение, ведет себя приблизительно так же, как идеальная система, для которой справедливо соотношение (9.2.16), то амплитуда волны в точке с координатами (x',y') будет определяться вкладом только очень малой области в пространстве предмета с центром в точке, соответствующей идеальному геометрическому изображению (рис. 9.2.2).

 

 

Рис.9.2.2. Область R, в которой функция h для точки с координатами (x',y') имеет значительную величину

Если внутри этой малой области аргумент  изменяется не более чем на долю радиана, то можно использовать приближение

(9.2.19)

Теперь экспоненциальный член можно опустить, так как он не зависит от (x, y) и следовательно, не влияет на результат измерения интенсивности в плоскости (x',y').

Воспользовавшись приведенными соображениями, перепишем выражение для импульсного отклика в виде

(9.2.20)

Чтобы получить совсем простой результат, рассмотрим случай, когда плоскость наблюдения расположена на таком расстоянии d1 от линзы, что удовлетворяется соотношением

. (9.2.21)

Это соотношение известно из геометрической оптики, где оно называется формулой линзы. Соотношение (9.2.21) определяет расположенную за линзой точку, в которой пересекаются лучи, исходящие из одной точки предмета (точка изображения). В приближении геометрической оптики выполнение формулы линзы означает, что импульсный отклик системы достаточно близок к идеальному. Предположение о выполнении формулы линзы позволяет свести импульсный отклик к виду

(9.2.22)

Определяя увеличение системы как

(9.2.23)

находим последний упрощенный вид импульсного отклика

(9.2.24)

Таким образом, если формула линзы справедлива, то импульсный отклик соответствует картине дифракции Фраунгофера на апертуре линзы, причем центр картины находится в точке изображения  .

Перейдем теперь к анализу соотношения между предметом и изображением. Рассмотрим сначала свойства изображения, предсказываемые геометрической оптикой. Чтобы найти это идеальное изображение, допустим, что длина волны  стремится к нулю. В этом случае дифракционные эффекты становятся несущественными. Производя замену переменных

(9.2.25)

выражение для импульсного отклика (9.2.24) можно переписать в виде

(9.2.26)

Область значений ( ), где функция зрачка Р равна единице, будет безгранично увеличиваться, что дает возможность заменить Р единицей, оставив те же пределы интегрирования. Таким образом,

(9.2.27)

Представляя этот результат в интеграл суперпозиции (9.2.16), получаем соотношение, связывающее распределения амплитуды в точках предмета и в точках изображения

(9.2.28)

Отсюда следует, что изображение, получаемое в приближении геометрической оптики, представляет собой точную копию изображения.

Выводы геометрической оптики, конечно, приближенны. Более точное представление о соотношении между предметом и изображением можно получить только при учете дифракционных эффектов. Чтобы найти такое соотношение, вернемся к выражению (9.2.26) для импульсного отклика и произведем следующую дополнительную замену переменных:

(9.2.29)

Импульсный отклик в этом случае будет равен

(9.2.30)

Заметим, что h теперь пространственно-инвариантная величина, зависящая только от разности координат  . С введением еще одного определения

(3.2.31)

распределение поля в плоскости изображения принимает вид

(9.2.32)

В этом выражении мы узнаем свертку импульсного отклика  и идеального изображения. Для удобства определим новую функцию

(9.2.33)

Свертку (3.2.32) тогда можно переписать в упрощенном виде:

  (9.2.34)

где

(9.2.35)

Соотношения (9.2.34) и (9.2.35) представляют собой конечный результат настоящего анализа. Они показывают, что при учете дифракционных эффектов изображение нельзя больше считать точной копией предмета. Полученное изображение дает несколько сглаженный облик предмета, что является следствием неравенства нулю ширины импульсного отклика  . Это сглаживание может привести к значительному ослаблению мелких деталей предмета и соответственно к потере точности воспроизведения изображения. Точно такое же явление можно наблюдать в случае, когда электрический сигнал проходит через линейную электрическую схему. Если длительность импульсного отклика схемы велика по сравнению с "временем пульсаций" входного сигнала, то схема будет сглаживать входной сигнал. Таким образом, быстрые изменения входного сигнала не будут воспроизводиться на выходе.