8.3. Фазовая проблема в оптике. Cоздание на основе решения обратных задач нового класса оптических элементов [1, 2, 6-9]

8.3.1. Извлечение фазовой информации из данных об интенсивности

Как известно, проблема получения фазовых характеристик световых полей возникает в разнообразных оптических исследованиях. Трудности непосредственного измерения фазы в оптическом диапазоне заставляют оптиков искать обходные пути: пытаться извлекать фазовую информацию из данных об интенсивности. Разумеется, попытки найти простые рецепты решения задачи были обречены на неудачу. Однако за последние 25 лет наметилось серьезное продвижение в проблеме восстановления фазовых характеристик световых полей. Работы, по восстановлению фазовых характеристик по характеристикам интенсивности с помощью ЭВМ, набирают размах. Важно подчеркнуть, что при этом привлекаются дополнительные данные о поле, например, во многих случаях используются два (а не одно) распределения интенсивности, относящиеся к двум сечениям поля.

Допустим, что монохроматическое поле, несущее информацию об исследуемом объекте, было зарегистрировано в двух плоскостях: в плоскости изображения и в фурье-плоскости. Будем считать, что поле зависит только от одной пространственной координаты. Обозначим поле в плоскости изображения через E(x) = a(x)exp iφ(x)) , в фурье-плоскости - через F(x) =A(x) exp(iФ(x)). Для операции преобразования Фурье введем символ

(8.3.1)

т ак что

( 8.3.2)

Пусть при регистрации поля получена информация о функциях a(x) и A(x), а информация о фазовых множителях отсутствует. Задача состоит в построении комплексной функции по заданному ее модулю и модулю ее фурье-образа. Для решения этой задачи была предложена итерационная процедура, которая заключалась в следующем. В качестве пробной функции бралась функция, модуль которой совпадал с заданным в плоскости изображения модулем a(x), а фазовый множитель exp (iψ(x)) брался произвольным; в работе он строился с помощью генератора случайных чисел. Пробную функцию удобно обозначить через y₀(x), в дальнейшем индекс будет совпадать с числом выполненных итераций, перед началом итераций имеем

(8.3.3)

Д ля этой функции строилось ее преобразование Фурье

(8.3.4)

З атем у полученной функции модуль заменялся на правильный, т.е. на A(x), а фаза сохранялась. Так получали функцию в фурье-плоскости

(8.3.5)

ч то можно представить как

(8.3.6)

З атем выполнялось обратное преобразование Фурье и снова исправлялся модуль, при этом получалась функция в плоскости изображения в первом приближении

(4.3.7)

Н а следующем шаге выполнялись такие же преобразования. Всю итерационную процедуру можно представить формулами

(8.3.8)

Если процесс окажется сходящимся, то функцию, получающуюся в качестве предела итераций, будем обозначать через y

(8.3.9)

Описанный алгоритм расчета распределения фазы известен в литературе как алгоритм Гершберга-Сэкстона Практика его использования показала, что во многих случаях процесс действительно сходился, и функция y совпадала с исходным комплексным полем . Несмотря на то, что в настоящее время разработан ряд более совершенных и корректных методов решения фазовой проблемы алгоритм Гершберга-Сэкстона остается одним из самых популярных.