22. Скорость и ускорение в сферической системе координат

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат  , где r — расстояние до начала координат, а θ и   — зенитный и азимутальный угол соответственно.

  Сферическая система координат широко используется при решении задач со сферически симметричным потенциалом

V = V(r).

Связь между переменными (x,y,z) прямоугольной и (r,θ,φ) сферической систем координат

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ

показана на рис. Элементу объёма в прямоугольной системе координат dxdydz соответствует элемент объёма r²sinθdθdφdr в сферической системе координат.

Рис. Прямоугольная и сферическая системы координат.

    В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

(1)

Волновая функция ψ(r,θ,φ), являющаяся решением уравнения (1), имеет вид произведения радиальной и угловой функций

ψ(r,θ,φ) = Rnl(r)Ylm(θ,φ),

(2)

Определите скорость точки в сферической системе

координат ρ = ρ(t), ϕ = ϕ(t), ϴ= ϴ(t)

Координаты точки x, y, z в декартовой системе координат выражаются через

сферические координаты равенствами

x = ρ sin ϴ cos ϕ,

y = ρ sin ϴ sin ϕ,

z = ρ cos ϴ ,

где 0 ≤ ρ<∞ ,

0 ≤ ϕ< 2π ,

0 ≤ ϴ<π

Введем криволинейные координаты

q₁= ρ , q₁= ϕ , q₁= ϴ

Найдем коэффициенты Ламе.

Так как dS₁ = H₁ dq₁ = H_ρ dρ, dS2 = H2dq2 = H_ϕ dϕ, dS3 = H3dϴ

и, кроме того, dS₁= dρ, dS₂= dϴdϕ, dS₃= ρdϴ,

то получаем H₁ = H_ρ = 1, H₂ = H_ϕ = ρ sinϴ , H₃ = H_ϴ = ρ

Найдем проекции скорости. V₁ q₁ = v_ρ = q'₁ H₁ = rH_ρ = ρ', V₂ q₂ = v_ϕ = q'₂ H₂ = ϕ'H_ϕ = ρϕ'sinϴ,

V₃ q₃ =v_ϴ = ϴ'H₃ =ϴ' H_ϴ =ρϴ'

Так как сферическая система координат является ортогональной, то квадрат

скорости равен Ѵ²=ρ²+ρ ²ϕ sin ²ϴ+ρ ²ϴ² .

23. Определение скорости точки в полярной системе координат

Скорость точки. Вектор ск-сти:  – первая производная от радиус-вектора по времени (точка обозначает производную по времени). Если модуль скорости не изменяется с течением времени, то движение называется равномерным. При естественном сп.:  – модуль скорости, вектор скорости: , – орт касательной, т.е. скорость всегда направлена по касательной к траектории. Если v>0, то движение происходит в сторону положительного отсчета дуговой координаты и наоборот. 

Движение в полярной системе координат: r=r(t) – полярный радиус,=(t) – угол. Проекции скорости на радиальное направление , поперечное направление , модуль скорости ;  x=rcos, y=rsin.

При задании движения в полярных координатах: проекции ускорения на радиальное направление , поперечное направление , модуль ускорения . При естественным сп. задания движения полное ускорение раскладывают на нормальное и касательное (тангенциальное) ускорения: . Модуль нормального ускорения: ,    – радиус кривизны траектории, нормальное ускорение направлено по нормали к траектории ( к касательной) всегда к центру кривизны, т.е. в сторону вогнутости. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Модуль касательного ускорения , направлено по касательной к траектории, либо в сторону скорости, либо в обратную. Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. При ускоренном движ-ии направление касат. уск. и скорости совпадают, при замедленном – противоположно.   ,  . Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости  его проекция на бинормаль равна 0 (главная нормаль лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. в плоскости плоской кривой, бинормаль –  к главной нормали и касательной). Частные случаи движения точки: 1) Прямолинейное: радиус кривизны = (бесконечно большой)  а_n=0, a=a_. 2) Равномерное криволинейное движ-ие:v=const  a_=0, a=a_n. Уск. появляется только за счет изменения направления скорости. Закон движ-ия: s=s₀+vt, при s₀=0   v=s/t.