11. Гармонические колебания.

одним из часто встречающихся случаев в прямолинейном движении является гармоническое колебательное движение, закон которого дается уравнением:

Скорость точки при гармоническом колебании будет:

,

А ускорение

Величина а есть наибольшее отклонение движущейся точки от начала отсчета О и называется амплитудой колебаний (рис.46) точка О называется центром колебаний, а промежуток времени, в течение которого точка возвращается в прежнее положение с той же скоростью – периодом колебаний.

Период определяется из условий:

t+T)= и t,

откуда

.

Величина, обратная периоду, т.е.

.

Называется частотой колебаний. Аргумент синуса называется фазой колебаний. Величина называется циклической или круговой частотой колебаний. Кривой расстояний этого движения является синусоида, кривой скоростей – косинусоида, а кривой ускорений – также синусоида, но сдвинутая по фазе относительно графика движения на Как видно ускорение гармонического движения точки пропорционально ее отклонению от центра колебаний.

В общем случае закон гармонических колебаний дается уравнением , где величина является начальной фазой колебаний. В частности, при получаем закон: при закон движения будет .

12. Разложение скорости

Представим радиус-вектор r точки в виде

r=rr⁰. (1)

Где r⁰ где единичный вектор по направлению r. При движении точки вектор r меняется по длине и по направлению, а следовательно, r⁰ и r суть некоторые функции времени. Дифференцируя равенство (1) по t, получим следующее выражение скорости точки:

r⁰+ . (2)

Скорость, как видно из этого выражения, состоит из двух слагаемых. Первое из них r⁰ имеет то же направление, что и радиус-вектор r, и характеризует изменение r по модулю. Чтобы выяснить смысл второго слагаемого, заметим, что , где - угол поворота вектора ; следовательно, модуль второго слагаемого будет:

. (3)

Направление этого слагаемого перпендикулярно к направлению , так как направление дифференциала единичного вектора перпендикулярно к направлению самого вектора. Тогда

, (4)

где есть единичный вектор направления, перпендикулярного к r¹. Таким образом, второе слагаемое представляет изменение вектора r по направлению. Окончательное выражение скорости будет:

. (5)

Первое слагаемое называется радиальной составляющей, а второе слагаемое – трансверсальной(или поперечной) составляющей скорости.

13. Скорость в круговом движении. Угловая скорость

Рассмотрим движение точки M по окружности радиуса R(рис 1). Скорость точки M в этом случае будет иметь численное значение

, так как ds=Rd . Величина называется угловой скоростью вращения радиуса OM = R.

Таким образом, при круговом движении скорость точки будет:

.

Направлена скорость по касательной к окружности, т.е. перпендикулярно к радиусу OM.