51) Сложение вращений вокруг двух параллельных осей
Угловая скорость твердого тела вокруг неподвижной оси обычно изображается скользящим вектором вдоль оси и направленным в ту сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки.
Ось вращения, положение которой в пространстве изменяется со временем, называют мгновенной осью вращения тела.
Пусть относительное
движение тела является вращением с
угловой скоростью
вокруг
оси аа', укрепленной на кривошине ab, а
переносное - вращение кривошипа ab вокруг
оси bb', параллельной aa' с угловой скоростью
.
Вращение будет плоскопараллельным и возможны три случая:
1. Вращения направлены
в одну сторону. Пусть тело представлено
сечением S, а точки А и В это следы осей.
Тогда
,
а точка С будет мгновенным центром
скоростей, следовательно ось Сс' будет
мгновенной осью вращения.
Для получения угловой скорости абсолютного вращения используем формулу (10.2.7):
Из свойств пропорции получим
Подставляя в эти соотношения значение vA и vB окончательно получим:
Если тело участвует
одновременно в двух направленных в
одну сторону вращения вокруг параллельных
осей, то его результирующим движением
будет мгновенным вращением с абсолютной
угловой скоростью
вокруг
мгновенной оси, параллельной данной.
Мгновенная ось вращения Сс' будет менять свое положение с течением времени, описывая цилиндрическую поверхность.
2. Вращения направлены в разные стороны
Пусть
Аналогично предыдущему случаю имеем
Подставляя
окончательно
получаем
В данном случае результирующее движение является мгновенным вращением, с абсолютной угловой скоростью вокруг оси Cc'.
3. Пара вращений
Это предыдущий
случай, когда
(рис.
69, б). Такая совокупность вращений
называется парой вращений, где векторы
образуют
пару угловых скоростей. Так как,
,
то
,
a мгновенный центр скоростей находится
в бесконечности и все точки тела имеют
одинаковую скорость
.
Результирующее
движение будет мгновенно поступательным
со скоростью
,
равной моменту пары угловых скоростей
этих вращений.
Примером такого движения является движение педали велосипеда по отношению к раме.
52) Основная теорема кинематики твердого тела (теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки).
Сформулируем теорему, а затем ее докажем.
Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой:
|
(1) |
Докажем теорему
методом от противного. Предположим,
что равенство (1) не выполняется и
проекции скоростей на прямую AB
(рис. 7
0)
не равны между собой. Тогда с течением
времени расстояние между точками A
и B
будет меняться, то есть AB
= var, а этого
быть не может, так как мы рассматриваем
твердое тело. Следовательно, наше
предположение не верно, а верно равенство
(1), и теорема доказана.
По доказательству мы видим, что теорема не зависит от вида движения тела, главное чтобы тело было твердым.