57. Напишите теорему Штейнера

Теорема Штейнера

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_C относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстоянияd между осями:

где

J_C — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

J — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

m — масса тела,

d — расстояние между указанными осями.

Вывод

Момент инерции, по определению:

Радиус-вектор   можно расписать как разность двух векторов:

,

где   — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

Вынося за сумму  , получим:

Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

Тогда:

Откуда и следует искомая формула:

,

где J_C — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Пример

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню, (назовём её осью C) равен

Тогда согласно теореме Штейнера его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен

где d — расстояние между искомой осью и осью C. В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти положив в последней формуле d = L / 2:

58. Сложение мгновенных, угловых и поступательных скоростей.

Пусть твердое тело совершает относительно системы Охуz мгновенное вращение с угловой скоростью w, а сама эта система совершает по отношению к неподвижной поступательное движение со скоростью V (или наоборот, что в силу коммутативности мгновенных движений несущественно). Рассмотрим возможные частные случаи.

1. Поступательная скорость перпендикулярна к мгновенной оси вращения Аа (рис.144). заменим в этом случае мгновенную поступательную скорость V парой угловых скоростей (w^э-w’), беря w’=w (где w-заданная угловая скорость )и распологая пару так, как показано на рисунке; при этом, согласно (12), плечо пары d=v/w. Тогда мгновенные вращения вокруг одной и той же оси с угловыми скоростями w и –w’=-w взаимно уничтожатся и останется только мгновенное вращение вокруг мгновенной оси Вв с угловой скоростью w’=w. Итак, при сложении мгновенного вращательного движения с угловой скоростью w и поступательного движения со скоростью v, направленной перпендикулярно к w, результирующее движение будет мгновенным вращением с такой же (по модулю и направлению) угловой скоростью w, но вокруг мгновенной оси, смещенной в плоскости, перпендикулярной к вектору v, на величину d=v/w

2. Смотерть билет №60.