14. Закон равномерного, равнопеременного криволинейного движения

1)Если во все время движения числена величина скорости постоянна, т.е. , то криволинейное движение называется равномерным. Из выражения или , интегрируя, найдем закон равномерного криволинейного движения:

, (1)

где s₀ – начальное расстояние точки(в момент t=0).

2)Если касательное ускорение точки во все время движения постоянно, т.е. , то криволинейное движение называется равнопеременным. Из выражения найдем закон изменения скорости в этом движении:

, (2)

где - начальная скорость точки (в момент t=0). Отсюда, принимая во внимание, что , получим закон равнопеременного криволинейного движения в виде:

, (3)

где s₀ – начальное расстояние. От случая прямолинейного движения выражение (3) отличается тем, что в него вместо x входит s, а вместо a – величина .

15. Секторная скорость.

Предположим, что точка М движется по закону: x=x(t); y=y(t); z=z(t). или в векторной форме, r=r(t).

Радиус-вектор точки, перемещаясь в пространстве, описывает конус, направляющей которого служит траектория точки. Обозначим величину площади О боковой поверхности этого конуса, ограниченной кривой и двумя радиусами-векторами r( ) и r(t), через (рис 55).

Пусть в момент t+ t приходит в положение М’, определяемое радиус-вектором r’= r(t+ t). тогда, если t мало, то приращение площади за промежуток времени t можно приближённо представить вектором, изображающим плоскую площадку ОММ’, т.е. вектором, модуль которого равен половине площади параллелограмма, построенного на векторах r и r= r’- r, следовательно, ОММ’=1/2(r* r).

Предел отношения приращения площади, описываемой радиус-вектором, к соответствующему промежутку времени t, при .

Чтобы найти выражение через вектор скорости , разделим обе части равенства на t и получим: = r* .

Следовательно, =2 r* , т.е. удвоенная секторная скорость точки относительно некоторого центра равна моменту скорости этой точки относительно того же центра. Из последней формулы видно, что секторная скорость зависит от центра, относительно которого она определяется, и для каждого центра будет иметь свою величину; поэтому, задавая секторную скорость, необходимо указывать центр, относительно которого она берётся.

16. Выражение скорости в криволинейных координатах.

Пусть в некоторой декартовой системе К точка М имеет координаты x,y,z. Всякой системе значений будет соответствовать определённая система значений (q1,q2,q3).(эти числа называются криволинейными координатами).

Чтобы получить выражение скорости в криволинейных координатах, проще всего воспользоваться формулой: и найти в криволинейных координатах выражение элемента дуги . Пусть имеем прямоугольную декартову систему координат. Тогда

Для сферических координат, считая , найдем : + .

В сферических координатах скорость равна : + ².

Для цилиндрических координат, полагая . Получим, что

В цилиндрических координатах :

17.

Разложение ускорения по осям естественного трехгранника. Представим скорость точки M – проекция вектора скорости на ось . Дифференцируя равенство (1) по времени, получим: . Первое слагаемое есть вектор , направленный вдоль касательной Найдем значение второго слагаемого. Дифференциал единичного вектора перпендикулярен к и лежит в соприкасающейся плоскости. Следовательно, вектор направлен по главной нормали . Кроме того, | | = | | ⋅ dθ = dθ , где dθ – элементарный угол смежности. Отсюда находим, что = dθ ⋅ и поскольку и , (где ρ есть радиус кривизны кривой в точке M ), и тогда окончательно запишем: Подставляя найденную величину в (2), получим искомую формулу: Таким образом, проекции вектора на оси естественного трехгранника равны:

, , (5). Вектор будем называть тангенциальной или касательной составляющей вектора ускорения точки, а вектор – его нормальной составляющей. Модуль ускорения (рисунок) точки M будет равен:

Угол μ между вектором и главной нормалью определяется из уравнения: (7). Из равенства (4) следует, что вектор лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории. Пользуясь формулами (5)–(6) можно определить модуль и направление ускорения, если движение задано естественным способом, т.е. если известна траектория и задан закон движения точки вдоль этой траектории в виде: Вектор при этом направляется в сторону положительного отсчета расстояния s . Криволинейное движение называется ускоренным, если проекции векторов и на ось имеют одинаковые знаки и замедленным, когда эти знаки разные. Если в данный момент времени , (что может иметь место, когда | | достигает максимума или минимума), то и μ = 0 – ускорение в этот момент времени направлено по главной нормали Если же в течение некоторого промежутка времени, то на этом интервале времени величина скорости постоянна (равномерное криволинейное движение), а ускорение, появляющееся за счет изменения вектора по направлению, направлено вдоль главной нормали к траектории, т.е Аналогично, если в данный момент времени , то вектор в этот момент направлен по касательной к траектории и μ = 90^o . Такой случай может иметь место, когда в данный момент времени скорость точки обращается в нуль (т.е. точка меняет направление движения), или же когда движущаяся точка находится в точке перегиба своей траектории, где ρ = ∞ . Если же в течение некоторого промежутка времени, а точка движется , то это может быть лишь в случае, когда в течение всего промежутка времени движение прямолинейно ρ = ∞ . Если во все время движения численная величина скорости постоянна, т.е. , то криволинейное движение называется равномерным. Интегрируя равенство , найдем закон равномерного криволинейного движения: (8). где – расстояние от точки M до начала отсчета , вычисленное вдоль дуги траектории, в начальный момент времени t = 0 . Если касательное ускорение точки во все время движения постоянно, т.е. , то криволинейное движение называется равнопеременным. Интегрируя равенство , найдем сначала закон скорости в этом движении ; (9) где – начальная скорость точки. Принимая во внимание, что , и интегрируя равенство (9), получим закон равнопеременного криволинейного движения в виде