55)При каком движении точки равно нулю касательное ускорении и при каком нормальное?
Представим скорость точки М в виде ,где v=vt— проекция вектора v на ось (рис. 58). Дифференцируя это равенство по времени, получим:
.(44) Отсюда находим, что .
Кроме того, , где угол смежности. Отсюда находим, что и . Но , так как где p-радиус кривизны кривой в точке М. Следовательно, .Подставляя найденную величину в равенство(44), получим окончательно: .(46)
Таким образом, проекции ускорения на оси естественного трехгранника равны:
.Вектор называется тангенциальной или
касательной составляющей ускорения, а вектор — нормальной
составляющей (рис. 63). Модуль ускорения на основании равенств (46) будет: или .(48)Угол , между вектором w и главной нормалью определяется из уравнения (рис. 63) .(49)
По формулам (47) — (49) можно определить модуль и направление ускорения, если движение задано естественным способом, т. е.дана траектория (следовательно, известен радиус кривизны в каждой ее точке) и дан закон движения вдоль траектории в виде s = f(t).Вектор (или ось ) направляется в этом случае в сторону положительного отсчета расстояния s.
Рассуждая, как в случае прямолинейного движения, придем к выводу, что движение будет ускоренным(рис 64а), когда проекции векторов v и w на ось , т. е. величины имеют одинаковые знаки (угол между v и w острый),и замедленным(рис64б), когда эти знаки разные (угол между vи w тупой).Если в данный момент времени , то ускорение точки в этот момент направлено по главной нормали ( ).Если же в течение некоторого промежутка времени, то здесь скорость постоянна (движение- равномерное криволинейное), а ускорение, появляющееся за счет изменения вектора v по направлению, направлено вдоль главной нор-
нормали к траектории . Аналогично, если в данный момент времени ,
то вектор w в этот момент направлен по касательной к траектории( ). Такой случай может иметь место или когда в данный момент скорость точки обращается
в нуль (точка меняет
направление движения), или же когда
движущаяся точка находится в точке
перегиба своей траектории, где
(рис.
65). Если же
в течение некоторого промежутка времени,
а точка движется (
)
, то это может быть в случае, когда в
течение всего промежутка времени
движение прямолинейно (р = оо).
Полное ускорение точки в течение некоторого промежутка времени может быть равно нулю (w = 0), когда в течение этого промежутка и , т. е., как следует из
предыдущих рассуждений, когда точка в течение этого промежутка движется относительно выбранной системы отсчета равномерно и прямолинейно.
56)Подвижные и неподвижные центроиды.
Геометрическую картину движения плоской фигуры в ее плоскости можно представить с помощью центроид. При движении плоской фигуры положение мгновенного центра вращения будет непрерывно изменяться как на неподвижной плоскости, так и на плоскости, связанной с движущейся фигурой. Геометрическое место мгновенных центров вращения на неподвижной плоскости есть, следовательно, непрерывная кривая, которая называется неподвижной центроидой(неподвижной полодией).Геометрическое место мгновенных центров вращения на подвижной плоскости, связанной с движущейся фигурой, есть также непрерывная кривая, называемая подвижной центроидой(подвижной полодией).После поворота фигуры вокруг данного мгновенного центра подвижная цнтроида, повернувшись вместе с фигурой, соприкоснется с неподвижной в точке, которая будет мгновенным центром для следующего момента времени. Следовательно, при движении фигуры подвижная центроида катится по неподвижной без скольжения( точка касания, для фигуры мгновенный центр скоростей, имеет скорость, равную нулю). Пользуясь этой картиной можно всякое непоступательное движение плоской фигуры в ее плоскости осуществить геометрически качением без скольжения неизменно связанной с этой фигурой подвижной центроиды с неподвижной(рис 91)Например, если круг Д (рис 92)катится без скольжения по прямой д,то окружность круга будет подвижной, а прямая неподвижной центроидой.Мгновенный центр вращения будет в (.)Р касания обеих центроид.Чтобы представить кинематическую картину движения, надо в каждый момент времени задать угловую скорость фигуры, т.е. задать w(t).Траектория какой-либо (.)По отношению к неподвижной центроиде- рулетта(рис 93). Вообще рулетта это траектория какой-либо точки плоскости, катящейся без скольжения по неподвижной кривой- базе. Например, при качении одной окружности по другой рулетты- укороченные и растянутые эпи- или гипоциклоиды. При решении кинематических задач можно использовать принцип обратимости движения, т.е. считать за основную, неподвижную, плоскость- подвижную, а за подвижную- ту которая неподвижная.
