44) Полная и относительная производная от вектора.

Производная от вектора по направлению определяется следующим образом:

– направляющие косинусы вектора , в декартовой системе координат.Доказательство:Учтем, что

и так далее, подставим в , получим:

мы доказали

Частная и полная производные по времени от вектора

Доказательство:

45. Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей.

Пусть точка движется относительно не-

некоторой подвижной системы отсчета , которая в свою очередь перемещается по отношению к основной (неподвижной) системе Ωξηζ. Тогда движение, скорость и ускорение точки, рассматриваемые по отношению к системе , называются относительными, а по отношению к системе Ωξηζ – абсолютными. Разумеется, что термин «абсолютный» есть лишь способ выражения, обозначающий, что соответствующие величины отнесены к системе Ωξηζ, являющейся основной (в этом же условном смысле основную систему называют неподвижной). Движение подвижной системы по отношению к неподвижной Ωξηζ является для движущейся точки переносным движением, а скорость и ускорение той неизменно связанной с подвижной системой отсчета точки пространства, в которой в данный момент находится движущаяся точка, называются переносными. Иным образом переносную скорость и переносное ускорение можно в каждый момент времени представить себе как ту скорость и то ускорение, которые движущаяся точка имела бы в данный момент, если она начиная с этого момента, оказалась бы жестко связанной с подвижной системой (т. е. не совершала относительного движения). Для решения ряда задач механики необходимо установить зависимости между скоростями и ускорениями точки по отношению к подвижной и неподвижной системам отсчета. Для скоростей эта зависимость уже была найдена геометрически, и имеет вид: . Соответствующую зависимость для ускорений получим, используя понятие об относительной производной вектора.

2. Полная и относительная производные от вектора. Пусть подвижная и неподвижная Ωξηζ системы отсчета имеют общее начало О, и пусть ω-мгновенная угловая скорость подвижной системы по отношению к неподвижной. Рассмотрим точку М, совершающую движение, которое не зависит от движения триэдра . Ее радиус-вектор r = ОМ будет, очевидно, с течением времени изменяться в каждой из систем отсчета по разным законам.

Тогда за некоторый промежуток времени ∆t вектор r получит по

отношению к осям Ωξηζ и разные приращения, которые мы соответственно обозначим через ∆r и ∆ŕ. Согласно, , где переносная скорость есть

скорость той неизменно связанной с триэдром точки пространства, в которой в данный момент находится точка М. Тогда по формуле Эйлера и равенство дает: . Если воспользоваться проекциями, то локальная производная любого вектора а относительно системы может быть определена как вектор, проекции которого на оси этой системы равны производным от проекции вектора а на те же оси. Дадим другое доказательство справедливости формулы. Пусть, как всегда, i, j, k суть единичные координатные векторы подвижного триэдра ; тогда: Дифференцируя по времени получим:

Первые три члена справа дают локальную производную: так как они представляют собой производную вектора а при условии, что i, j, k постоянны. Производные единичных векторов суть скорости их концов, т.е. скорости точек неизменяемой системы, которой является триэдр . Следовательно, по формуле Эйлера

46-47.Сложное движение точки. Теорема о сложении ускорений.

Пусть подвижная система

движется относительно неподвижной Ωξηζ как свободное твердое тело. Обозначим скорость и ускорение начала (полюса) О по отношению к осям Ωξηζ через и , а мгновенную угловую скорость и угловое ускорение самого трехгранника по отношению к тем же осям Ωξηζ, через ω и v. Рассмотрим точку М, совершающую движение, которое

вообще не зависит от движения системы . Обозначим через

p и r ее абсолютный и относительный радиусы-векторы, а через радиус-вектор точки О. Тогда в любой момент времени Возьмем от обеих частей этого равенства полную производную по времени. Но по формуле есть скорость той неизменно

связанной с системой точки, в которой в данный момент находится точка М, следовательно, по определению это переносная скорость, т. е. . В результате находим: . Таким образом, мы другим путем доказали теорему о сложении скоростей. Беря теперь производные от обеих частей равенства, будем иметь:

Величина есть по определению относительное ускорение (как локальная

производная от относительной скорости по времени). Иным путем в этом можно убедиться, положив в w = 0, е = 0, = 0, т.е. считая, оси неподвижными. Тогда полное ускорение точки М должно совпасть с относительным и мы придем к равенству.

Величина есть переносное ускорение, так как она равна ускорению той неизменно связанной с системой точки, в которой в данный момент находится точка М. Иным путем это можно получить, положив в =0, =0, т. е. считая, что

точка М неизменно связана с системой . Тогда ее полное ускорение совпадает с переносным и мы получим равенство.

Величина которая не входит ни в относительное, ни в переносное ускорения, называется поворотным или кориолисовым ускорением. В результате получаем следующую теорему о сложении ускорений или теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки при сложном движении равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

Если переносное движение (движение подвижной системы ) является поступательным, то = 0, так как w = 0. Следовательно, при поступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного и переносного ускорений. Кориолисово ускорение появляется только тогда, когда подвижные оси при своем движении вращаются (отсюда термин «поворотное»

ускорение). Как видно из хода доказательства, вектор wc является суммой двух векторов Один из них учитывает изменение вектора относительной скорости vr при непоступательном переносном движении, а другой изменение переносной скорости ve при относительном перемещении точки (при изменении вектора г в относительном движении). Если подвижная система отсчета движется поступательно, равно-

равномерно и прямолинейно, то и, как видно из , т. е. в этом случае относительное и абсолютное ускорения совпадают. Отметим еще, что кориолисово ускорение может обращаться в нуль в данный момент времени, если в этот момент = 0, или

vr = 0, или же В тех случаях, когда О, его модуль вычисляется по формуле: , а направление определяется как направление векторного произведения

Направление можно еще найти, спроектировав вектор vr на плоскость П, перпендикулярную к ω, и повернув эту проекцию на 90° в сторону переносного вращения. Такой способ особенно удобен в случае плоского движения, когда vr уже лежит в плоскости, перпендикулярной к ω.