30)Скорости и ускорения точек вращающегося тела.

Т.к. любая точка М тела совершает круговое движение, то по формуле V=Rω, получим

Из равенства (19) следует, что по модулю вектор v равен ‌׀‌‌mom_Мω׀, ибо ОoМ есть плечо вектора w относительно точки М (рис. 84).

Согласно определению момента, легко установить, что v совпадает с mom_Mω и по направлению. Следовательно,

Если О есть произвольная точка оси, в ко-

торой приложен скользящий вектор w, и

г = 0М, то

Рис. 84.

Таким образом, для всякой точки вращающегося твердого тела скорость v определяется формулой Эйлера

Так как одновременно то отсюда следует, что если вектор r изменяется со временем только по направлению (|r| = const), то

где (w— угловая скорость поворота вектора. Формулой (22) часто удобно пользоваться при вычислении производной.

Возьмем произвольную точку О на оси вращения за начало системы координат Oxyz и направим ось Oz вдоль оси вращения (см. рис. 84). Тогда ω_x = ω_y = 0, а ω_z = ω, ω - алгебраическое значение угловой скорости, и мы получим:

или

Равенства (24) дают проекции скорости любой точки М (х, у, z) вращающегося твердого тела на выбранные оси координат. Легко заметить при этом, что вид формул (24) не зависит от того, будут ли оси Oxyz неподвижными или же будут связаны с вращающимся

телом. Следовательно, проекции скоростей ковариантны по отношению к переходу от неподвижной к подвижной системе осей (т. е. определяются в этих осях формулами одинакового вида).

Ускорение любой точки М вращающегося тела также находится по формулам кругового движения . Следовательно,

Выражение для w можно еще получить из равенства (21)

или

Из рис. 84 видно, что вектор ε • r коллинеарен ω• r, т.е.направлен вдоль касательной к траектории, а вектор ω• v направлен вдоль МО₀, т. е. по главной нормали к траектории; следовательно,

Из (27) и (19) находим ‌׀w_τ |= |e| r sin < О₀OM = |е| О₀M, w_n = wv = w²O₀M, т. е. приходим к равенствам (25).

Если взять систему координатных осей Oxyz, в которой ось z направлена вдоль оси вращения, и представить w_n в виде w_n = w²O₀M , то, согласно (26) и (27), будет:

Отсюда получаем формулы для вычисления проекции ускорения любой точки М (х, у, z) вращающегося тела на выбранные оси координат:

Эти формулы будут также ковариантны по отношению к переходу от неподвижной системы осей к подвижной.

31)Плоское движение твердого тела. Уравнения плоского движения.

Плоское движение – это движение, при котором ось вращения остается во все время движения параллельной самой себе, но движется поступательно в пространстве. Определим плоское движение как такое, при котором все точки твердого тела, расположенные в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, во все время движения остаются в тех же плоскостях. Если разбить мысленно тело на плоские сечения, параллельные заданной плоскости, то эти сечения будут оставаться каждое в своей плоскости.

Пусть тело А (рис. 142) совершает движение, параллельное плоскости П. Проведем

мысленно в теле ряд плоскостей П', П", ..., параллельных П. Тело разобьется на ряд плоских фигур S', S", ... Все точки, принадлежащие какой-нибудь фигуре, движутся в плоскости фигуры, и, следовательно, фигура в целом движется в своей плоскости. Движение одной такой плоской фигуры вполне определяет движение всего твердого тела,

так как плоскости, которыми мы разбили твердое тело, друг с другом неизменно связаны и не могут двигаться друг по отношению к другу.

Если мы возьмем в какой-нибудь фигуре S' точку М' и восставим в ней перпендикуляр к плоскости фигуры S', то точки М' и М" фигур S' и S", лежащие на этом перпендикуляре, будут иметь одинаковое движение, т. е. будут описывать одинаковые траектории, иметь одинаковые скорости, одинаковые ускорения.

Таким образом, можно значительно упростить изучение плоского движения твердого тела — достаточно изучить движение одной плоской фигуры в ее плоскости.

Возьмем две системы осей в плоскости движения фигуры: одну систему Оху- неподвижную, другую— О'х'у', неизменно связанную с движущейся фигурой (рис. 143). Положение точки М фигуры в неподвижной плоскости будем определять вектор-радиусом r, проведенным из начала О неподвижной системы осей; выбор рассматриваемой точки фигуры определяется указанием вектора r', проведенного из начала О' подвижной системы. Вектор-радиус начала О' относительно О обозначим

через r₀. Проекциями вектора r на оси x и у будут декартовы координаты х и у в неподвижной системе осей; при движении фигуры координаты х и у изменяются со временем; в противоположность этому проекции вектора r' на подвижные оси, т. е.

декартовы координаты х' и у' точки М в системе подвижных осей, остаются постоянными, как расстояния точек твердой фигуры до проведенных на ней прямых.

Всякой точке фигуры соответствует определенная пара чисел х' и у'. В частности, точке О', началу подвижной системы, соответствуют значения х' и у', равные нулю; значения координат х я у для этой точки обозначим через х₀ и у₀ (проекции вектора r₀).

Чтобы определить положение подвижной системы осей относительно неподвижной, достаточно задать: 1) положение начала О', т. е. координаты хо и у0 или, что то же, вектор-радиус r₀; 2) угол одной из подвижных осей с одной из неподвижных, например угол φ оси х с осью х'. Последнее требует некоторого уточнения. Условимся считать, что перпендикулярная к плоскости фигуры ось z направлена так, что оси хуz и x'y'z' составляют правые системы. Это определит положительное направление отсчета угла φ: смотря с конца оси z(z'), наблюдатель должен видеть поворот оси х к оси х' происходящим против часовой стрелки.

Заданием трех величин х₀, у₀ и φ положение системы подвижных осей вполне определяется. Вместе с тем по этим данным определяется и положение плоской фигуры. Поэтому движение плоской фигуры следует считать известным, если в любой момент времени известны значения величин х₀, у₀, φ или, что то же самое, заданы значения их в функции времени.

Назовем начало О' подвижной системы основной точкой или полюсом; угол φ будет в таком случае углом поворота вокруг полюса.

Плоское движение твердого тела определяется:

1) уравнениями движения основной точки

2) уравнением вращения фигуры вокруг полюса

Чтобы получить уравнения движения любой точки плоской фигуры, спроектируем на неподвижные оси х и у очевидное геометрическое равенство

Получим (см. рис. 143)

Здесь x_0, y₀, φ — заданные функции времени. Уравнения (4) представляют собой уравнения движения точки М или, что то же самое, параметрические уравнения ее траектории. Исключая из них время, получим уравнение траектории.