18. Кривизна кривой. Радиус кривизны.

(На рисунке) В двух точках кривой M и M′ проведем единичные векторы касательных и . Угол между этими касательными, называемый углом смежности, обозначим через Δθ , а длину соответствующей дуги MM′ траектории точки M – через Δs . Отношение Κ_* = Δθ/Δs называется средней кривизной кривой на дуге MM′ , а предел этого отношения при sΔ →0, если он существует, называется кривизной кривой в данной точке, и она равна отношению величины элементарного угла смежности к величине элемента дуги в этой точке. Очевидно, что кривизна окружности радиуса R равна: и постоянна во всех ее точках. Кривизна произвольной кривой вообще не постоянна и изменяется от точки к точке. Если через три точки M₁,M,M₂ любой кривой провести окружность, то в пределе (при приближении точек M₁ и M₂ к точке M ), она будет лежать в соприкасающейся плоскости. Эта предельная окружность называется соприкасающимся кругом или кругом кривизны. Кривизна кривой в точке M равна кривизне соприкасающегося круга. Центр круга кривизны называется центром кривизны, а радиус этого круга – радиусом кривизны кривой в точке M . Обозначая радиус кривизны через ρ , получим выражение кривизны кривой в точке M : .

Радиус кривизны.Радиусом кривизны кривой L в точке называется число , где k - кривизна линии L в точке M . Если кривизна в точке M равна 0, то радиус кривизны формально полагаем равным +∞ . Заметим, что для окружности это определение даёт значение радиуса кривизны, совпадающее с радиусом окружности (постоянное во всех точках окружности). Без доказательства сообщим, что из всех окружностей, касающихся линии L в фиксированной точке , наиболее плотно прилегает к линии L та окружность, которая имеет радиус, равный радиусу кривизны кривой в точке M , и выпуклость в ту же сторону, что кривая L. Эта окружность называется окружностью кривизны линии L в точке M .

Рис.1.Окружности, касающиеся линии , и окружность кривизны. Радиус кривизны параболы в её вершине равен . Значит, окружность радиуса с центром в точке наилучшим образом приближает параболу в окрестности её вершины, то есть является для параболы окружностью кривизны в вершине параболы окружностью кривизны в вершине параболы.

Рис.2Окружность кривизны для параболы в вершине

19.Проекции скоростей в ортогональной криволинейной системе координат.

Ортогональными называются координаты в которых метрический тензор имеет диагональный вид. где d В ортогональных системах координат q = (q¹, q², …, q^d) координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат ортогональны друг другу координатные оси Ox, Oy и Oz. Ортогональные координаты представляют собой частный случай криволинейных координат. Наиболее часто в качестве ортогональных координат используются декартовы координаты, так как именно в этих координатах большинство уравнений имеют наиболее простой вид. Прочие системы ортогональных координат используются реже, в частности, для решения краевых задач, таких как задача о теплопроводности, диффузии и т. д. Выбор той или иной системы ортогональных координат определяется симметрией системы. Например, при решении задачи о распространении электромагнитной волны от точечного источника выгодно пользоваться сферической системой координат; при решении задачи о колебании мембраны предпочтительней цилиндрическая система координат.

Изображения по методу прямоугольных (ортогональных) проекций основаны на следующем приеме: проектируемый предмет представляют себе помещенным внутри трехгранного угла из взаимно перпендикулярных плоскостей, причем так, чтобы каждое из трех основных измерений предмета (его длина, ширина и высота) располагалось параллельно одной из трех плоскостей проекций, как называют плоскости трехгранного угла (рис. 2 и 3). Затем из каждой точки, характеризующей размеры и форму проектируемого предмета, например призмы, проводят лучи, направленные к каждой плоскости проекций под прямым углом (перпендикулярно), и точки пересечения лучей с плоскостью проекций соединяют линиями подобно тому, как они связаны между собой на самом предмете. При ортогональном проектировании намечают три плоскости проекций для изображения видов спереди, сверху и сбоку (справа или слева); оси проекций — OX, OY, OZ, по направлениям которых расположены длина, ширина и высота призмы, помещенной внутри трехгранного угла плоскостей проекций.Из каждой вершины призмы ко всем трем плоскостям проекций направлены проектирующие лучи перпендикулярно к одной из плоскостей для получения проекций (изображений) данной вершины, например А. Так получены: горизонтальная проекция а1, вертикальная проекция a2, профильная проекция а3, точно воспроизводящие положение в пространстве вершины А призмы. В результате подобного проектирования всех других вершин призмы получаются три изображения призмы, называемые в архитектурной практике планом, фасадом и боковым фасадом архитектурных сооружений. Следует отметить, что изображение ребер призмы на этой плоскости проекций, к которой они перпендикулярны, превращается в точку (например, ребра АВ на профильной плоскости в3 — а3), а изображение граней призмы, перпендикулярных к двум из трех плоскостей проекций, превращается в прямую линию. О длине ребер, величине и форме граней призмы можно судить лишь по их изображениям на той плоскости проекций, к которой параллельны данные ребра или грань. Так, например, грань призмы А — В — С — Е — F изображена в истинную величину лишь на вертикальной плоскости V. Однако на этом изображении призмы нет размера ее толщины; два других изображения призмы превратились в прямоугольники и не дают представления о форме передней и задней граней. Таким образом, при ортогональном проектирований представить себе форму и величину предмета, изображенного в трех проекциях, можно лишь путем сопоставления всех трех его изображений. В практической работе по ортогональному проектированию описанный прием осуществляют не в трехгранном углу, а на листе бумаги, представляя себе, что плоскости угла развернуты и расположены рядом; вид призмы спереди — точно над видом сверху, а вид сбоку — рядом с видом спереди и справа или слева от него, в зависимости от направления проектирующих лучей (рис. 2, II). Рассматривая изображения призмы, убеждаешься, что три ее вида дают точное представление о размерах, да и о форме призмы. Однако очевидным недостатком таких изображений является их малая наглядность — только в результате опыта развивается умение „читать" чертежи в ортогональных проекциях, в данном примере — представить себе форму призмы по трем ее изображениям с разных сторон.

(рисуно 2) Ортогональные проекции геометрических тел (рисунок 1) процесс ортогонального проектирования