24. Поступательное движение твердого тела.

Впоследствии мы покажем, что всякое движение твердого тела может быть сведено к двум основным движениям: поступательному и вращательному , мы рассмотрим одно из них.

Поступательным движением твердого тела наз-ся такое его движение, при котором каждая из двух не ||-х между собой прямых, неизменно связанных с телом, перемещается ||-но самой себе, т.е оставаясь ||-й своему начальному направлению. В этом случае ||-но самой себе перемещается любая прямая, связанная с телом. Пусть А₁,В₁,А₂,В₂ суть положения двух точек теладля двух моментов времени t₁ и t₂. По определению твердого тела А₁ В₁=А₂ В₂; по определению поступательного дв-я А₁ В₁||А₂ В₂. Следовательно отрезки А₁А₂,и В₁В₂, равны и параллельны, т.е (1)

Это равенство могло бы быть принято за определение поступательного движения, и тогда наше первоначальное определение получилось бы из нового как следствие.

Обозначив перемещение ∆r_A= , будем иметь:

∆r_A= ∆r_В и

Где =t2-t1 есть промежуток времени, в течении которого тело перемещается из положение 1 в положение 2. Переходя к пределу при =>0, получим согласно определению скорости:

Ѵ_А=Ѵ_В=Ѵ,(2)

где Ѵ_А,Ѵ_В суть скорости точек А и В. Т.к точки А,В были выбраны произвольно, то при поступательном движении твердого тела скорости всех точек тела в данный момент равны друг другу и выраж-ся одним и тем же вектором(Ѵ)

Поэтому в отличии от скорости материальной точки, скорость твердого тела , дв-ся поступательно, есть вектор свободный, ибо он может быть приложен к любой точке тела. Только в случае поступательного движения можно говорить о скорости тела как целого. Траектории всех точек тела в этом случае суть конгруэнтные кривые, т.е такие кривые, которые при наложении совпадают всеми своими точками. Равенство (2) имеет место в любой момент времени :

, или ω_A=ω_В=ω.

Т.о, и ускорение точек поступательно дв-ся тела есть вектор свободный . Итак при поступательном дв скорости и ускорения всех точек тела для каждого момента времени равны между собой.

Из всего предыдущего вытекает, что при поступательно дв тв тела вполне опред-ся дв-м одной из его точек.

25. Теорема о перемещении тела, имеющего одну неподвижную точку. Угловая скорость тела.

Теорема Даламбера – Эйлера. Мгновенная ось вращения.

Проведём в теле сферическую поверх­ность произвольного радиуса с центром в неподвижной точке    

По­кажем у тела какие-нибудь две точки   и  , расположенные на этой сфере. Со­единим их по сфере дугой наибольшего радиуса (кратчайшее расстояние между точками). Переместим тело в новое по­ло­жение.  Точки, а  значит и дуга, займут по­ложение   и  . Соединим точки   и   и   дугами большого радиуса   и  . Посередине этих дуг прове­дём им перпендикулярные дуги и  най­дём их точку пересечения  . Соединим эту точку   с точками  . Получим два сфе­рических треугольника   и  , расположенных на этой сфере. Эти два треугольника равны, как треугольники с равными сторонами ( , а   и   – как дуги равноудалённые от пер­пендикуляров). Так как эти два треугольника расположены на одной сфере и имеют общую вершину  , то их можно совместить поворотом сферы, а значит и тела, вокруг прямой  .

Поэтому можно сделать вывод, что тело с одной неподвижной точкой можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через не­подвижную точку  . Это утверждение – есть теорема Даламбера-Эйлера.

Рис. 9.7.

 

Конечно, такое перемещение не яв­ля­ется истинным движением тела. На самом деле тело переходило из первого положе­ния в другое каким-то другим, наверное бо­лее сложным путём. Но, если время   такого пере­хода мало, то это перемещение будет близко к действительному. А при   можно предположить, что для данного момента времени тело поворачива­ется вокруг некоторой оси Р, проходя­щей через неподвижную точку  , вращаясь вокруг неё с угловой скоро­стью  . Конечно, для каждого дру­гого момента времени эта ось рас­поло­жена иначе. Поэтому ось  называют мгновенной осью вращения,а угло­вую скорость   – мгновенной угловой скоростью, вектор которой на­прав­лен по оси.

Движение точки по окружности можно характеризовать углом поворота радиуса, соединяющего движущуюся точку с центром окружности). Изменениеэтого угла с течением времени характеризуют угловой скоростью. Угловой скоростью точки называют отношение угла поворота радиус-вектора точки к промежутку времени, за который произошел этот поворот. Угловая скорость численно равна углу поворота радиус-вектора точки за единицу времени. Угол поворота обычно измеряют в радианах (рад). Единицей угловой скорости служит радиан в секунду (рад/с) — угловая скорость, при которой точка описывает дугу, опирающуюся на угол, равный одному радиану, за одну секунду. Полный оборот по окружности составляет 2p рад. Значит, если точка вращается с частотой n, то ее угловая скорость есть Если движение точки по окружности неравномерно, то можно ввести понятие средней угловой скорости и мгновенной угловой скорости, как это делалось для обычной скорости в случае неравномерного движения, В дальнейшем, однако, будем рассматривать только равномерное движение по окружности. «Обычную» скорость будем, в отличие от угловой скорости, называть линейной скоростью. Легко найти связь между линейной скоростью точки v, ее угловой скоростью со и радиусом r окружности, по которой она движется. Так как, описав угол, равный одному радиану, точка пройдёт по окружности расстояние, равное радиусу, то т. е. линейная скорость при движении по окружности равна угловой скорости, умноженной на радиус окружности.