Формула полной вероятности. Задача №25

Рассчитать вероятность безотказной работы Р_С схемы мостика (рис. 23), зная вероятности безотказной работы отдельных элементов: Р₁, P₂, P₃, P₄, P_5.

D

Схема мостика не является последовательно-параллельной, поэтому её надёжность не может быть рассчитана путём непосредственного применения формулы умножения. Задача может быть решена с помощью формулы полной вероятности:

Пусть некоторое событие А может произойти только лишь с одним из событий Н_i, составляющих полную группу и называемых гипотезами. Вероятность i-й гипотезы – Р(Нi). Тогда Р(А/Нi) – условная вероятность события А при i-й гипотезе.

Р(А)= Р(Нi) Р(А/Нi), где k – число гипотез.

Гипотезы образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей равна единице.

Решение.

Для применения формулы полной вероятности необходимо наметить гипотезы, облегчающие решение задачи. Гипотезы могут быть приняты применительно к любому целесообразному количеству элементов: к одному, к двум и т.д.

В каждой гипотезе характеризуются возможные состояния элементов.

Рассмотрим 2 варианта решения задачи, когда гипотезы принимаются применительно к одному или к двум элементам.

1-й вариант решения

Рассмотрим 2 гипотезы применительно к элементу №3 – он может быть работоспособен или может находиться в состоянии отказа.

Заведомо работоспособное состояние элемента №3 (гипотеза 1) эквивалентно тому, что места соединения его в схеме (рис. 24-а) соединяются накоротко (он отказать не может).

Заведомый отказ элемента №3 (гипотеза 2) эквивалентен тому, что места соединения его в схеме (рис. 24-б) разомкнуты (он не может выполнять поставленные задачи).

По формуле полной вероятности

P_С = Р₃ Р_С1 + Q₃ P_С2 = Р₃(1 – Q₁Q₄) (1 – Q₂Q₅) + Q₃(1 – (1 – Р₁Р₂)(1 – Р₄Р₅))

2-й вариант решения

Рассмотрим 4 гипотезы применительно к элементам №1 и №4 (1-й столбец таблицы 1).

Вероятности гипотез в соответствии с записанными для них выражениями определяются по формуле умножения (2-й столбец таблицы 1).

В соответствии с рассматриваемыми гипотезами определяются вероятности работоспособного состояния системы (3-й столбец табл. 1). Так, если элементы 1 и 4 работоспособны, для работоспособного состояния системы необходимо, чтобы был работоспособен элемент 2 или 5 или оба совместно.

При работоспособном состоянии 1-го элемента и одновременном отказе 4-го сигнал поступает в точку В и для появления его в точке D необходимо, чтобы был работоспособен элемент 2 или были бы совместно работоспособны элементы 3 и 5.

Таблица 1. Расчёт надёжности схемы «мостика»

Гипотеза Hi	P(Hi)	P(A/Hi)
1. Элементы 1 и 4 работоспособны	Р1Р4	P2 + P5 ‑ P2P5
2. Элемент 1 – работоспособен, элемент 4 - отказал.	Р1Q4	P2 + P3P5 ‑ P2P3P5
3. Элемент 4 – работоспособен, элемент 1 - отказал..	Р4Q1	P5 + P3P2 ‑ P2P3P5
4. Элементы 1 и 4 отказали.	Q1Q4	0

P_С = Р₁Р₄ (P₂ + P₅ ‑ P₂P₅) + Р₁Q₄(P₂ + P₃P₅ ‑ P₂P₃P₅) + Р₄Q₁(P₅ + P₃P₂ ‑ P₂P₃P₅)

Оба варианта решения при подстановке численных значений дадут одинаковый ответ.