Задача №42

Найти МО случайной величины Х, зная закон ее распределения (табл. 4).

Таблица 4. Ряд распределения СВ

x	1	2	3	4	5
p	0,3	0,4	0,1	0,2	0

Решение.

МО дискретной случайной величины – это ее среднее, точное, средневзвешенное значение. Весовые коэффициенты, равные вероятностям отдельных значений, приближают математическое ожидание к значениям, имеющим большие вероятности:

m = = 1·0,3 + 2·0,4 + 3·0,1 + 4·0,2 + 5·0 = 2,2.

Задача №43

Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x₁ = 4 с вероятностью р₁ = 0,5; x₂ = 6 с вероятностью p₂ = 0,3 и x₃ с вероятностью p₃. Найти x₃ и р₃, зная, что математическое ожидание случайной величины Х равно 8.

Решение.

События X = x₁, X = x₂ и X = x₃ образуют полную группу событий, поэтому

р₃ = 1 – (р₁+р₂) = 1 – (0,5+0,3) = 0,2.

Математическое ожидание дискретной случайной величины m = , откуда x = = = 21.

Задача №44

Чему равно математическое ожидание центрированной случайной величины, если такой случайной величиной является напряжение цеховой сети?

Решение.

Математическая операция центрирования заключается в вычитании математического ожидания из значений случайной величины:

= x – m_Х. Следовательно, M[ ] = M[x – m_Х] = m_Х – m_Х = 0.

Для любой центрированной случайной величины математическое ожидание (иначе, первый центральный момент) равно нулю.

Задача №45

Для независимых случайных величин Х и Y заданы следующие законы распределения:

Таблица 5. Ряд распределения величины Х

X	1	3	6
P	0,3	0,1

Таблица 6. Ряд распределения величины Y

Y	3	4	5
P	0,8		0,2

Найти математическое ожидание случайной величины XY.

Решение.

МО произведения независимых СВ равно произведению МО сомножителей:

M[XY] = m_Х m_Y = ( )( ) =

= (1·0,3 + 3·0,1 + 6·(1 – 0,3 – 0,1))(3·0,8 + 4·(1 – 0,8 – 0,2) + 5·0,2) = 14,28.

Задача №46

Как изменятся значения МО m_i и дисперсии D_i тока, протекающего по шинопроводу, если начало координат перенести в точку 100 А?

Решение.

Перенос начала координат в точку 100 А равносилен вычитанию из случайной величины постоянного числа 100. В соответствии со свойствами МО и дисперсии можно записать: M[x – 100] = m_Х – 100,

D[x – 100] = D_Х – D[100] = D_Х.

Иными словами, при переносе начала координат на соответствующую величину изменяются все характеристики положения и остаются неизменными характеристики рассеивания.

Задача №47

В результате наблюдений за уровнем напряжения на шинах 0,38 кВ подстанции промышленного предприятия в течение 100 суток получено 1000 наблюдений. Среднее статистическое значение напряжения равно 371В. Статистический второй начальный момент напряжения равен 137647,25В .

Найти статистическую дисперсию и статистическое среднее квадратическое отклонение (СКО) напряжения.

Решение.

Дисперсия случайной величины определяется через начальные моменты:

D^*[U] = α₂^*(U) – m_U^*2 = 137647,25 – 371² = 6,25 В .

Среднее квадратическое отклонение σ^*[U] = = = 2,5В.

Эту характеристику иногда называют стандартом напряжения.