Задача №36

Какое значение необходимо проставить в незаполненную графу статистического ряда длительности ремонта кабельных линий (табл. 3)?

Таблица 3. Статистический ряд длительности ремонта кабельных линий

Длительность ремонта, ч	0…6	6…12	12…18	18…24	24…30	30…36	36…42
Статистическая вероятность	0,02	0,13	0,24		0,28	0,19	0,10

Решение.

События, состоящие в том, что случайная величина (длительность ремонта) примет значение в одном из разрядов, образуют полную группу событий, поэтому статистическая вероятность попадания случайной величины в разряд 18…24 ч. :

Р_18-24 = 1 – (0,02+0,13+0,24+0,28+0,19+0,10) = 0,04.

З адача №37

По заданной функции распределения нагрузки линии электропередачи (рис.28) определить вероятность того, что нагрузка, примет значение меньшее, чем 20 А.

Решение.

Функция распределения случайной величины – это вероятность того, что СВ примет значение меньше, чем текущее:

F(2) = P(I < 20) = 0,4.

Задача №38

По заданной функции распределения (рис.29) мощности на валу электродвигателя определять вероятность того, что мощность примет значение не менее чем 2 кВт.

Решение.

Для решения задачи используется свойство суммы вероятностей противоположных событий. Получим:

P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – F(2) = = 1 – 0,4 = 0,6.

З адача №39

Непрерывная случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью

Найти коэффициент А.

Решение.

Так как площадь под кривой распределения равна единице, то:

, = 0,5А

и, следовательно, 0,5А = 1, а А = 2.

Задача №40

Время Т безотказной работы кабельной линии распределено по показательному закону распределения, для которого функция распределения имеет вид:

F(t) = 1 – e^­λt, (t ≥ 0),

где λ – параметр закона (величина обратная среднему времени работы до отказа).

Найти вероятность безотказной работы кабельной линии в течение 1000 часов, если λ = 0,0002 1/ч.

Решение.

Функция распределения F(t) времени Т безотказной работы кабельной линии задаёт вероятность того, что время Т безотказной работы линии будет меньше, чем t. Иначе говоря, она является вероятностью отказа линии за время t. Тогда 1 ‑ F(t) будет являться вероятностью противоположного события, т.е. – вероятностью безотказной работы линии за время t.

Искомая вероятность безотказной работы кабельной линии в течение 1000 часов определится после подстановки вместо t его значения равного 1000 часов:

Р(1000) = 1- 1 – e^­λt = e^­λt = e^­1000λ = e^­0,2= 0,819.

Занятие №4 Параметры положения случайной величины (мода, медиана, математическое ожидание). Моменты случайной величины. Дисперсия случайной величины. Задача №41

Дано: Y = 5x ‑ 3z + 4, где Х, Y, z – случайные величины. Известны математические ожидания (МО) и дисперсии величин Х и z: m_x = 2; m_z = 3; D_x = 1; D_z = 2.

Найти МО и дисперсию величины Y.

Решение.

Для нахождения математического ожидания величины Y необходимо воспользоваться следующими свойствами МО:

• МО неслучайной величины С равно этой неслучайной величине: М[С] = С.

• Неслучайную величину можно выносить за знак МО: М[СХ] = С М[Х].

• МО суммы случайных величин равно сумме МО этих величин:

.

M[Y] = M[5x ‑ 3z + 4] = 5m_x ‑ 3m_z + 4 = 5·2 ‑ 3·3 + 4 = 5.

Для нахождения дисперсии величины Y необходимо воспользоваться следующими свойствами дисперсии :

• Дисперсия неслучайной величины С равна нулю:

• D [C] = 0.

• Неслучайную величину С можно выносить за знак дисперсии, возводя её в квадрат: D[CX] = С²D[Х].

• Дисперсия суммы независимых СВ равна сумме дисперсий этих величин:

.

D[Y] = D[5x ‑ 3z + 4] = 25D_x + 9D_z = 5·5 + 9·2 = 43.