- •Вероятностно-статистические методы в энергетике
- •Введение
- •Глоссарий
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Логическая схема анализа надежности Задача №4
- •З адача №5
- •Задача №6
- •Задача №7
- •Задача №8
- •Классическая формула определения вероятности события. Задача №9
- •Задача №10
- •Задача №11
- •Геометрическая формула определения вероятности события Задача №12
- •Статистическая формула определения вероятности события. Задача №13
- •Занятие №2
- •Формула умножения вероятностей Задача №14
- •Задача №15
- •Задача №16
- •Задача №17
- •Формула сложения вероятностей. Определение вероятности хотя бы одного события. Задача №18
- •З адача №19
- •Задача №20
- •Задача №21
- •Задача №22
- •Задача №23
- •Задача №24
- •Формула полной вероятности. Задача №25
- •Задача №26
- •Задача №27
- •Формула Бейеса. Задача №28
- •Задача №29
- •Задача №30
- •Задача №31
- •Формула Бернулли. Задача №32
- •Задача №33
- •Задача №34
- •Занятие №3 Способы задания законов распределения. Задача №35
- •Задача №36
- •Занятие №4 Параметры положения случайной величины (мода, медиана, математическое ожидание). Моменты случайной величины. Дисперсия случайной величины. Задача №41
- •Задача №42
- •Задача №43
- •Задача №44
- •Задача №45
- •Задача №46
- •Задача №47
- •Задача №48
- •Задача №49
- •Занятие №5 Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона. Закон равномерного распределения вероятностей Задача №50
- •Задача №51
- •Задача №52
- •Занятие №6 Нормальный закон распределения (Гаусса – Лапласа). Нормальная функция распределения. Правило «3 сигма» Задача №53
- •Задача №54
- •Задача №55
- •Занятие № 7 Выравнивание статистических рядов. Проверка правдоподобия гипотез о характере закона распределения Задача №56
- •Литература
- •Оглавление
Задача №33
Аудитория освещается тремя одинаковыми лампами, вероятности отказа которых при повышении напряжения на 5% одинаковы и равны 0,2. Определить вероятность того, что перегорят только две лампы, если напряжение в сети составит 105% от номинального.
Решение.
Применяя формулу Бернулли, находим вероятность перегорания двух из трёх ламп при повышении напряжения на 5%:
Р =С р2q3- 2 = = 0,096.
Задача №34
Вероятность того, что расход электроэнергии предприятием в течение одних суток превысит установленную норму, равна 0,25. Найти вероятность того, что из шести суток расход электроэнергии в течение четырех не превысит норму.
Решение.
Применяем формулу Бернулли.
Вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы имеет вид:
= С p4q2= = 0,297.
Занятие №3 Способы задания законов распределения. Задача №35
Проверяется 5 деталей поочередно, причем каждая последующая деталь проверяется, если предыдущая выдержала испытание. Как только какая–то деталь не проходит испытание, испытания прекращаются и бракуется вся партия деталей. Вероятность р выдержать испытание для каждого детали одинакова и равна 0,9. Построить многоугольник распределения количества деталей, подвергнутых испытанию в серии, записать ряд распределения этой случайной величины (СВ), построить график функции распределения количества деталей, проверяемых в серии. Найти математическое ожидание (МО) – mХ и дисперсию ‑ DХ количества деталей, испытываемых в серии.
Решение.
Ряд распределения – это таблица, в которой с одной стороны указаны значения случайной величины, а с другой – их вероятности. В ряду распределения значения СВ располагаются упорядочено – по мере их возрастания.
Для того чтобы записать ряд распределения, подсчитываются вероятности возможных значений СВ:
Серия завершится одним испытанием, если испытание не пройдёт первая же деталь: Р(Х = 1) = 1 – р = q = 1- 0,9 = 0,1.
Число испытаний в серии будет равно двум, если первая деталь выдержит испытание, а вторая не выдержит: Р(Х = 2) = рq = 0,9 0,1 = 0,09.
Серия будет состоять из трёх испытаний, если первые две детали пройдут испытания, а третья - не пройдёт: Р(Х = 3) = ррq = 0,92 0,1 = 0,081.
Серия будет состоять из четырёх испытаний, если первые три детали пройдут испытания, а четвертая - не пройдёт: Р(Х = 4) = рррq = 0,93 0,1 = 0,0729.
Все пять испытаний будут проведены только в том случай, если первые четыре детали выдержат испытания: рррр = 0,94 =0,6361.
Таблица 1. Ряд распределения количества проверяемых в серии деталей
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
P |
0,1000 |
0,0900 |
0,0810 |
0,0729 |
0,6361 |
F |
0,0000 |
0,1000 |
0,1900 |
0,2710 |
0,3439 |
На основании ряда распределения строится многоугольник распределения (рис. 26) и график интегральной функции распределения (рис. 27), которую часто называют функцией накопленных вероятностей.
Математическое ожидание количества деталей, испытываемых в серии:
mХ = = 1∙0,1 + 2∙0,09 + 3∙0,081 + 4∙0,729 + 5∙0,6561 = 4,095.
По многоугольнику распределения (рис. 26) можно убедиться в том, что это значение соответствует абсциссе центра тяжести плоской однородной фигуры, повторяющей по форме этот многоугольник.
Дисперсия количества деталей, испытываемых в серии:
DХ = α2(х) – mХ2,
где α2(х) –2-й начальный момент, который определяется по формуле:
α2[Х] = М[Х2] = = 12∙0,1 + 22∙0,09 + 32∙0,081 + 42∙0,729 + 52∙0,6561 = 18,758.
Тогда дисперсия DХ = 18,758 – 4,0952 = 1,988.