Задача №54

Ток I в линии электропередачи распределен по закону Гаусса с МО, равным 10 А. Вероятность принятия током значений в интервале [10 A; 20 A] равна 0,3. Чему равна вероятность попадания I в интервал [0 A; 10 A]?

Решение.

Кривая Гаусса симметрична относительно прямой I = m = 10. Площади, ограниченные сверху кривой распределения и снизу интервалами (0; 10 А) и (10 А; 20 А), равны между собой. Эти площади численно равны вероятностям попадания тока в соответствующие интервалы: P(0 < I ≤ 10) = P(10 < I ≤ 20) = 0,3

Задача №55

Напряжение в узле нагрузки распределено по закону Гаусса со средним квадратическим отклонением 5 В. Найти длину интервала, в котором с вероятностью 0,9973 будет находиться напряжение при его измерении в произвольный момент времени.

Решение.

Практически все (точнее - 0,9973 всех) достоверные значения СВ, распределённой по нормальному закону, заключены в интервале длинной шесть СКО ( по три СКО влево и вправо от среднего значения СВ ). Это положение принято называть «правилом трёх сигм». В рассматриваемой задаче длина такого интервала

L = 5 В · 6 = 30 В.

Занятие № 7 Выравнивание статистических рядов. Проверка правдоподобия гипотез о характере закона распределения Задача №56

На основе заданного вариационного ряда распределения отклонений напряжения на подстанции (табл. 7) построить гистограмму отклонений напряжения, подобрать сглаживающий нормальный закон распределения, построить выравнивающую кривую распределения по этому закону и по критерию согласия Пирсона проверить правомерность его применения.

Таблица 7. Статистический ряд отклонений напряжения

Отклонения напряжения δU	-9…-5%	-5…-3%	-3…-1%	-1…1%	1…3%	3…5%	5…9%
Частота n	4	25	109	169	137	50	6

Решение.

На основании группированного статистического ряда отклонений напряжения определяются эмпирические параметры закона распределения:

Среднее статистическое значение (выборочное среднее) отклонений напряжения:

М[δU]* = ,

где n_i – количество наблюдений (частота), соответствующая i-му разряду;

N = 500 – суммарное число наблюдений;

– среднее значение отклонений напряжения в разряде ( «представитель разряда»);

k – число разрядов.

М[δU]* = (‑7∙4 ‑4∙25 ‑ 2 ∙109 ‑0∙169 +2∙137 +4∙50 + 7∙6)/500 = 0,3400%.

Статистический второй начальный момент отклонений напряжения

α₂^*[δU] = М*[δU²] = = (7²∙4 +4²∙25 + 2² ∙109 + 0²∙169 +2²∙137 +4²∙50 +

+ 7²∙6)/500 = 5,348 (%)².

Статистическая дисперсия отклонений напряжения

D[δU]* = α₂^*[δU] – (М[δU]*)² = 5,348 – 0,34² = 5,2324 (%)².

Статистическое среднее квадратическое отклонение

σ[δU]* = = = 2,2874%.

По методу моментов (приравняв теоретические параметры к эмпирическим) можно записать формулу нормального закона Гаусса для отклонений напряжения:

f(δU) = = .

В соответствии со статистическим рядом отклонений напряжения строится гистограмма относительных частот отклонений напряжения (рис. 37).

Порядок построения гистограммы:

1. На оси случайной величины δU откладываются отрезки ∆δU_i, равные ширине интервалов (разрядов) – 2% (в крайних разрядах – 4%).

2. На отрезках ∆δU_i, как на основаниях строятся прямоугольники, площади которых численно равны статистическим вероятностям р_i* попадания случайной величины в соответствующий разряд. Для того чтобы выполнить это условие необходимо правильно определить высоту каждого из прямоугольников.

Площадь каждого прямоугольника гистограммы – это статистическая вероятность P_i*=n_i/N. С другой стороны площадь прямоугольника: S_i = h_i ∆δU_i, где h_i – высота i-го прямоугольника гистограммы. Отсюда h_i = = .

Так как знаменатель в этом выражении для каждого разряда одинаков (при условии одинаковой их ширины), то высота h_i пропорциональна n_i. Откладывая высоты прямоугольников гистограммы в выбранном масштабе пропорционально частотам n_i.разрядов, можно существенно упростить последующий анализ статистических данных.

На рисунке, изображающем гистограмму уровней напряжения, строится сглаживающая кривая распределения по закону Гаусса. По полученному после подстановки статистических параметров выражению вычисляются значения плотности распределения в отдельных точках. Количество таких точек может быть выбрано произвольно, исходя из требуемой точности графического построения теоретической кривой. Целесообразно провести подобные вычисления для всех границ разрядов, а также вычислить максимальное (модальное) значение плотности распределения. Вычисления существенно упрощаются, если использовать таблицы Приложения 1 [6], а также аналогичные им таблицы, приводимые в справочниках и учебниках по теории вероятностей.

Результаты промежуточных вычислений и координаты полученных точек сводятся в таблицу 8. В этой таблице: m и  - соответственно значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения напряжения на подстанции, определённые по «методу моментов».

Необходимо, чтобы выравнивающая теоретическая кривая была построена в том же масштабе, что и гистограмма. При правильном построении площади под гистограммой и выравнивающей кривой должны быть одинаковыми. Чтобы обеспечить это требование, достаточно выполнить два условия:

- при построении гистограммы высоты прямоугольников откладывать пропорционально числу наблюдений в разряде;

- при определении координат H_i (столбец 6) точек сглаживающей кривой Гаусса умножать значения f(u) на N и на ширину разряда (В), т.е. на 500∙2 = 1000. Тогда координаты этих точек будут заданы в количествах наблюдений.

Т а б л и ц а 8. Нахождение точек выравнивающей кривой Гаусса

δu	δu-m = δu – 0,34	t = (δu-m)/= (δu-0,34)/2,287	f(t)=	f(u)=f(t)/2,287	Hi	F0(t)
1	2	3	4	5	6	7
-9	-9,34	-4,083	0,00005	0,00002	0,0	0,0000
-5	-5,34	-2,335	0,0261	0,01141	11,4	0,0098
-3	-3,34	-1,460	0,1374	0,060068	60,1	0,0721
-1	-1,34	-0,586	0,3360	0,146892	146,9	0,2789
1	0,66	0,289	0,3827	0,167308	167,3	0,6133
3	2,66	1,163	0,2029	0,088703	88,7	0,8776
5	4,66	2,037	0,0501	0,021903	21,9	0,9792
9	8,66	3,786	0,0003	0,000131	0,1	0,9999
0,34	0	0	0,3989	0,174421	174,4	-

Таблица 8 завершается столбцом 7, в котором приводятся найденные для границ разрядов значения нормированной нормальной функции распределения F₀(t), которые потребуются в дальнейшем. Эти значения вычисляются с помощью функции Лапласа Φ(t) (Приложение 2) [6] или находятся непосредственно по таблицам F₀(t), которые приводятся в литературе [1].

При помощи критерия согласия Пирсона производится проверка правдоподобия выдвинутой гипотезы о распределении уровней напряжения на подстанции по закону Гаусса. Результаты расчёта критерия согласия Пирсона сведены в таблицу 9.

Т а б л и ц а 9. Вычисление критерия согласия Пирсона

δui…δui+1	ni	Pi = F0(ti+1) - F0(ti)	NPi	ni - NPi	(ni - NPi)^2/ NPi
1	2	3	4	5	6
-9…-5%	4	0,0098	4,90	-0,90	0,165
-5…-3%	25	0,0623	31,15	-6,15	1,214
-3…-1%	109	0,2068	103,40	5,60	0,303
-1…1%	169	0,3344	167,20	1,80	0,019
1…3%	137	0,2643	132,15	4,85	0,178
3…5%	50	0,1016	50,80	-0,80	0,013
5…9%	6	0,0208	10,40	-4,40	1,861
Итого	500	1,0000	500	0,00	3,754

Примечание:

δu_i, δu_i+1 - соответственно левая и правая границы i-го разряда; n_i - число наблюдений в i-м разряде; P_i - теоретическая вероятность нахождения напряжения в i-м разряде.

Требующиеся для вычисления критерия теоретические вероятности попадания случайных величин в тот или иной разряд определяются с использованием нормированной нормальной функции распределения F₀(t) (столбец 7, табл. 8).

Контроль правильности заполнения табл. 9 можно осуществить, найдя сумму значений по строкам каждого столбца:

• сумма для столбца 2 равна N;

• сумма для столбца 3 равна 1;

• сумма для столбца 4 равна N;

• сумма для столбца 5 равна нулю.

Следует обращать внимание на то, чтобы сумма теоретических вероятностей Р_i равнялась единице. Это может не произойти, если F₀(t) не равняется нулю на левой границе 1-го разряда или единице на правой границе последнего разряда. В этом случае таблица 9 должна быть дополнена одним или двумя разрядами, находящимися левее 1-го или (и) правее последнего. Левая граница разряда, добавляемого слева, равняется нулю, правая граница разряда, добавляемого справа, равняется бесконечности.

После заполнения таблицы 9 вычисляется мера расхождения χ² статистического распределения (гистограммы) и теоретического закона (в данном случае - закона Гаусса) как сумма значений по строкам столбца 6, которая получилась равной 3,754.

После нахождения χ² определяется число степеней свободы r теоретического распределения: r = k - s = 7 – 3 = 4,

где k – количество разрядов;

s – количество связей, наложенных на теоретическое распределение в соответствии с методом моментов (s равно количеству приравненных статистических и теоретических моментов плюс единица), которое для закона Гаусса равно 3.

Затем при помощи таблицы Приложения 3 [6], определяется приближенное значение Р(χ² ≥ х²) = 0,6 ‑ вероятность того, что при правильно выбранном теоретическом законе распределения за счёт случайных факторов расхождение статистических данных и теоретического закона может быть таким же или ещё большим, чем зафиксированное в данном расчёте.

Полученное значение вероятности сравнивается с принятым уровнем значимости. При этом уровень значимости (границу приемлемости) выдвинутой гипотезы можно принять равным 0,05. Так как полученное значение вероятности значительно больше 0,05, можно сделать вывод, что выдвинутая гипотеза правдоподобна