Задача №10

В контейнере содержится 10 одинаковых объектов (например, шаров), помеченных номерами от 1 до 10. Наугад извлекли 6 объектов. Определить вероятности:

- того, что среди извлеченных будет объект№4;

- того, что среди извлеченных будут объекты №1 и №5.

Решение.

В рассматриваемой задаче одновременно с классической формулой определения вероятности применяется формула комбинаторики.

Комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом, называются сочетаниями. Сочетания отличаются друг от друга только составом элементов, причем последовательность, в которой попадают элементы в выборку, не имеет никакого значения.

Число сочетаний из n элементов по k элементов определяется по формуле:

.

Чтобы воспользоваться классической формулой определения вероятности необходимо найти общее число равновозможных несовместных исходов опыта (число возможных комбинаций выбора шести объектов из десяти):

С = = 210.

Чтобы ответить на вопрос, сколько из этих комбинаций (сочетаний) содержат объект №4, необходимо понять, чем отличаются друг от друга эти сочетания. Общим для них является наличие объекта №4, а отличаются они друг от друга оставшимися пятью объектами, выбранными из оставшихся (помимо 4-го) объектов. Сколько сочетаний можно составить из 9 по 5, столько исходов благоприятствует появлению в выборке объекта №4: .

Р(№4)= = 0,6.

Для определения вероятности наличия в выборке двух объектов с заданными номерами достаточно найти количество сочетаний из 8 по 4:

Р(№1,№5) = = .

Задача №11

От секции шин трансформаторной подстанции отходит 8 линий с защитными плавкими предохранителями, 2 из которых выбрано неверно (отключающая мощность предохранителя меньше мощности короткого замыкания). Считая замыкание на любой линии равновероятным, определить вероятность того, что в двух случаях подряд при КЗ на отходящей линии произойдет явление развития отказа.

После любого КЗ перегоревший предохранитель заменяется на аналогичный.

Решение.

В том случае, если произойдёт КЗ на линии с неверно выбранным предохранителем, он не сможет погасить дугу, возникающую при перегорании плавкой вставки. Тогда КЗ не будет ликвидировано до тех пор, пока не сработает защитный аппарат, расположенный ближе к источнику питания. Этим аппаратом является выключатель ввода. Его срабатывание приведёт к отключению не только повреждённой линии, но и всех остальных линий шинной сборки – отказ получает развитие (его зона расширяется).

Развитие отказа наблюдается тогда, когда происходят КЗ на линиях с неверно выбранными предохранителями. Причём не исключён случай, когда дважды подряд КЗ может произойти на одной и той же линии.

Обозначим события:

А – явление развития отказа наблюдалось 2 раза подряд;

В – 2 раза подряд защита работала верно.

Для определения числа исходов, удовлетворяющих «схеме случаев» нужно учесть, что отказ на 1-й линии может сочетаться в дальнейшем с отказом на этой же самой линии или на любой другой. Таким образом, количество двух последовательных во времени отказов, начинающихся с отказа 1-й линии равно 8. Аналогично, будет 8 вариантов двух последовательных во времени отказов, начинающихся с отказа 2-й линии и т.д. Тогда общее количество исходов равно 8·8 = 64.

Из этих исходов благоприятны двух кратному подряд развитию отказов, только те, когда дважды подряд КЗ происходит именно на тех линиях, где неверно выбраны предохранители. Таких исходов - 2·2 = 4.

Р(А)= = 1/16; Р(В)= = 9/16.

При нахождении числителя и знаменателя в этих выражениях использовано «правило умножения»: если из некоторого конечного множества 1-й объект можно выбрать n₁ способом, а вслед за этим 2-й объект – n₂ способами, то оба объекта в совокупности можно выбрать n₁ n₂ способами.