Задача №48

Найти СКО суммарной мощности, потребляемой двумя независящими одна от другой электрическими нагрузками, если для первой нагрузки СКО равно 3кВт, а для второй – 4кВт.

Решение.

СКО случайной величины .

Так как случайные величины X и Y независимы, то D_Р = D_Х+ D_Y. Таким образом,

σ_Р = = = = 5.

Задача №49

По заданной интегральной функции распределения (рис. 30) найти медиану случайной величины Х.

Решение.

Медиана - это то значение СВ, для которого выполняется следующее соотношение: вероятность того, что значение СВ окажется меньше «медианы», равна вероятности того, что значение СВ окажется больше или равным «медиане», то есть:

Р(Х < Ме) = Р(Х ≥ Ме).

Но так как в сумме эти вероятности должны давать единицу, то каждая из них равна 0,5.

Учитывая, что Р(х < Ме) = F(Ме), по графику интегральной функции распределения находим значение х , соответствующее F(x) = 0,5. Это значение, равное 3, и является медианой случайной величины х.

Занятие №5 Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона. Закон равномерного распределения вероятностей Задача №50

На промышленном предприятии установлено 100 устройств автоматического включения резервного питания (АВР). Вероятность q отказа устройств при возникновении условий к срабатыванию одинакова и равна 0,2. Найти МО и дисперсию числа k отказов устройств АВР, если за период испытаний условия к срабатыванию возникают 80 раз.

Решение.

Так как испытания проводятся неоднократно, независимо одно от другого и в одинаковых условиях (вероятность отказа устройств не меняется), можно предположить, что отказы устройств АВР распределены по биномиальному закону. Для этого закона МО и дисперсия определяются выражениями:

M[k] = nq = 80·0,2 = 16. D[k] = nqp = 80·0,2·(1 – 0,2) = 12,8,

где n – число испытаний.

Задача №51

Что вероятнее: появление трех отказов системы электроснабжения в течение недели или появление четырех отказов в течение недели, если известно, что число отказов распределено по закону Пуассона и в среднем за неделю наблюдается четыре отказа.

Решение.

Случайная величина К ‑ число отказов в течение недели ‑ распределена по закону Пуассона: .

Входящий в формулу параметр а является одновременно и МО, и дисперсией СВ. В условии задачи задано среднее количество отказов за неделю, то есть а = 4.

Вероятность появления трех отказов за неделю

Вероятность появления четырех отказов за неделю:

.

Таким образом, сравниваемые вероятности одинаковы.

Задача №52

Случайная величина – нагрузка линии электропередачи, распределена по равномерному закону в интервале от 5 до 155 А (рис.31). Определить вероятности:

- того, что нагрузка линии будет менее 55 А;

- того, что нагрузка линии превысит 150 А;

- того, что нагрузка линии будет в пределах от 15 до 45 А;

- значение нагрузки, вероятность превышения которого равна 0,05.

Решение.

Для любой случайной величины вероятность того, что она примет значение менее произвольного текущего значения равна интегральной функции распределения, вычисленной для этого значения: F(i) = Р(I < i).

Геометрически эта вероятность является площадью под кривой распределения, лежащей влево от значения i.

Для равномерного закона распределения такая площадь является площадью прямоугольника (рис. 31), и может быть найдена по формуле:

F(i) = Р(I < i) = ,

где a = 5 А и b = 155 А – соответственно левая и правая границы распределения СВ;

1/(b ‑ а) = С = 1/150 1/А– значение плотности распределения нагрузки линии.

Для данной задачи F(i) = Р(I < i) = .

Таким образом, вероятность того, что нагрузка линии будет менее 55 А

Р(I < 55) = = 1/3.

Вероятность того, что нагрузка линии превысит 150 А, геометрически (рис. 32) является площадью под кривой распределения, лежащей вправо от значения 150 А, и может быть вычислена через интегральную функцию распределения:

Р(I ≥ 150) = 1 ‑ F(150) = 1 - = 1/30.

Вероятность того, что нагрузка линии будет в пределах от 15 до 45 А геометрически является площадью под кривой распределения, лежащей в интервале от 15 до 45 А, и может быть вычислена как разность значений интегральной функции распределения для правой и левой границ интервала:

Р(i ₁ ≤ I < i ₂) = F(i₂) – F(i₁) = ‑ = 0,2.

Для определения значения нагрузки, вероятность превышения которого равна 0,05 обозначим его как i_Р , и воспользуемся формулой вычисления вероятности превышения нагрузкой заданного значения:

Р(I ≥ i_Р) = 1 ‑ F(i_Р) = 1 - .

Тогда 1 - = 0,05,

и в итоге i_Р = 147,5 А.