Задача №31

Прибор может быть собран из высококачественных деталей или из деталей обычного качества. 40% приборов собирают из высококачественных деталей. Вероятность безотказной работы прибора, собранного из высококачественных деталей, за время t равна 0,95; из деталей обычного качества – 0,7. Прибор испытывался в течение времени t и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.

Решение.

Применяя формулу Бейеса, имеем вероятность того, что прибор собран из высококачественных деталей, если этот прибор работал безотказно:

Р(Н₁/А) = = = 0,475,

где гипотезы Н₁ и Н₂ – прибор собран из деталей соответственно высокого и обычного качества;

Р(Н₁), Р(Н₂) – вероятности гипотез Н₁ и Н₂ до опыта;

Р(А/Н₁), Р(А/Н₂) – вероятность безотказной работы прибора, собранного из деталей соответственно высокого и низкого качества.

Формула Бернулли. Задача №32

На электростанции установлены генераторы различной мощности: 2 по 100 МВт с вероятностью отказа каждого q₁ = 0,01, 2 по 50 МВт с вероятностью отказа каждого q₂ = 0,015, 4 по 25 МВт с вероятностью отказа каждого q₃ = 0,02. Определить вероятность того, что на электростанции возникнет дефицит располагаемой мощности в 150 МВт, если отказы генераторов взаимно независимы.

Решение.

Для решения задачи необходимо сначала правильно сформулировать событие с использованием союзов «И», «ИЛИ», а затем записать его с использованием принятых обозначений.

Обозначим событие, заключающееся в возникновении дефицита располагаемой мощности в 150 МВт, буквой Д. Существует несколько вариантов возникновения этого дефицита.

Вариант 1. Отказал один из генераторов мощностью 100 МВт и один в 50 МВт, тогда как все остальные генераторы работоспособны:

Д₁ = R_{100 100}R_{50 50} R₂₅R₂₅R₂₅R₂₅.

Вариант 2. Отказал один из генераторов мощностью 100 МВт и два по 25 МВт, тогда как все остальные генераторы работоспособны:

Д₂ = R_{100 100}R₅₀ R_{50 25 25}R₂₅R₂₅.

Вариант 3. Отказали два генератора мощностью 50 МВт и два по 25 МВт, тогда как все остальные генераторы работоспособны:

Д₃ = R₁₀₀ R_{100 50 50 25 25}R₂₅ R₂₅.

Вариант 4. Отказал один генератор мощностью 50 МВт и четыре по 25 МВт, тогда как все остальные генераторы работоспособны:

Д₄ = R₁₀₀ R₁₀₀ R_{50 50 25 25 25 25}.

Так как дефицит может образоваться по любому варианту, можно записать:

Д=Д₁+Д₂+Д₃+Д₄.

Ввиду того, что все варианты возникновения дефицита мощности несовместны, для нахождения события Д можно воспользоваться формулой сложения для несовместных событий:

Р(Д)=Р(Д₁+Д₂+Д₃+Д₄)=P(Д₁)+Р(Д₂)+Р(Д₃)+Р(Д₄).

В свою очередь каждый вариант возникновения дефицита мощности является сложным событием. Например, для варианта 1 необходимо, чтобы из двух генераторов по 100 МВт один был работоспособен и один отказал, И из двух генераторов по 50 МВт один был работоспособен и один отказал, И работоспособны все генераторы по 25 МВт.

Для определения вероятности для каждого из составляющих вариант событий используем формулу Бернулли:

= p^kq^n-k;

где = -число сочетании й из n объектов по k;

р – это вероятность появления интересующего нас события в опыте;

q – вероятность непоявления этого события в опыте.

Чтобы не ошибиться в подстановке значений в формулу Бернулли, нужно обращать внимание на то, показатель степени при вероятности работоспособного состояния должен равняться числу работоспособных генераторов, а показатель степени при вероятности отказа должен равняться числу отказавших генераторов.

В целом для нахождения вероятности каждого варианта используем формулу умножения вероятностей независимых событий:

P(Д₁) = C р₁¹q₁¹ C p₂¹q₂¹С p₃⁴q₃⁰= 4р₁q₁p₂q₂p₃⁴;

P(Д₂) = C р₁¹q₁¹ C p₂²q₂⁰С p₃²q₃²= 12р₁q₁ p₂²p₃²q₃²;

P(Д₃) = C р₁²q₁⁰ C p₂⁰q₂²С p₃²q₃²= 6р₁²q₂²p₃²q₃²;

P(Д₄) = C р₁²q₁⁰ C p₂¹q₂¹С p₃⁰q₃⁴= 2 р₁²p₂q₂q₃⁴;

р = 1 – q;

Р(Д) = 4·0,99·0,01·0,985·0,015·0,98⁴ + 12·0,99·0,01·0,985²·0,98²·0,02² +

+6·0,99²·0,015²·0,98²·0,02² + 2·0,99²·0,985·0,015·0,02⁴ = 0,000629.

Вероятность того, что в энергосистеме возникнет дефицит в 150 МВт, равна 0,000629. На первый взгляд, эта вероятность слишком мала. Однако необходимо учитывать, что на все возможные состояния системы (бездефицитное, дефицит 25 МВт, дефицит 50 МВт, дефицит 75 МВт и т.д.) приходится суммарная вероятность равная единице. Причем вероятность бездефицитного состояния равна в этой задаче 0,877096 (это не трудно подсчитать).