Занятие №6 Нормальный закон распределения (Гаусса – Лапласа). Нормальная функция распределения. Правило «3 сигма» Задача №53

Ток I в линии электропередачи распределен по закону Гаусса (рис. 32) с параметрами: математическое ожидание m_I = 200A; среднее квадратическое отклонение σ_I = =50A. Определить вероятности:

- того, что нагрузка линии будет менее 230 А;

- того, что нагрузка линии будет менее 150 А;

- того, что нагрузка линии превысит 300 А;

- того, что нагрузка линии будет в пределах от 150 до 250 А.

Убедиться в том, что закон Гаусса пригоден для задания закона распределения тока данной линии.

Решение.

Случайная величина распределена по закону Гаусса, если на ее значение влияет большое количество разнообразных примерно одинаковых по своему влиянию случайных факторов.

Плотность распределения случайной величины I, распределённой по нормальному закону (его так же называют «Общим нормальным законом» или «Общим законом Гаусса») графически описывается кривой Гаусса (рис. 32) и определяется выражением: f(i) = ,

где m- это одновременно мода, медиана и математическое ожидание СВ;

 - среднее квадратическое отклонение (стандарт) СВ.

Для того, чтобы вычислять площади под кривой распределения (нахождение этих площадей необходимо для определения вероятностей попадания случайных величин в тот или иной диапазон) используется так называемая нормированная нормальная функция распределения F₀(t).

Нормированная нормальная функция распределения F₀(t) есть ни что иное, как функция распределения для нормального закона (рис. 33) с параметрами: математическое ожидание m равно нулю, среднее квадратическое отклонение  равно единице:

F₀ (t) = .

Для перехода от общего закона Гаусса к нормированному закону Гаусса необходимо произвести замену переменной: t = (х – m)/.

Смысл такой замены следующий: вместо значений случайной величины х, имеющих некоторую размерность и определяющих положение точек на именованной оси Х, используются безразмерные значения t, определяющие положение точек на безразмерной оси нормированного распределения и показывающие расстояния рассматриваемой точки от математического ожидания, выраженные в средних квадратических отклонениях .

Тогда F(х) = F₀(t) = F₀((х – m)/).

Так, если случайная величина – ток I в линии электропередачи - распределена по закону Гаусса с параметрами m = 200 А,  = 50 А, то функция распределения этой величины для значения 150 А может быть выражена через нормированную функцию распределения следующим образом:

F(150) = F₀ ((150-200)/50) = F₀ (-1).

То есть для нормированной функции значение 150 А соответствует точке, отстоящей от математического ожидания влево (знак минус!) на одно среднее квадратическое отклонение.

Известно, что интеграл через элементарные функции не выражается. Поэтому значения нормированной нормальной функции распределения найдены численным методом и сведены в таблицы, которые можно найти в любой учебной книге по теории вероятностей.

В литературе [1, 2, 3, 4] приводятся различные виды таблиц, позволяющих найти площадь под кривой Гаусса. Для того, чтобы выяснить, значение каких площадей указано в таблице, необходимо обратить внимание на пределы интегрирования в выражении, записанном перед таблицей.

Наибольшее распространение получили таблицы следующих видов:

1) F₀(t) . 2) Φ(t) .

3) 2Φ(t) .

В таблицах 1-го вида указана площадь под кривой Гаусса, лежащая в пределах от минус бесконечности до t, т.е. они задают вероятность того, что СВ примет значение меньше, чем t. Для нахождения вероятности того, что СВ примет значение больше t, необходимо найти разность: 1 ‑ F₀(t).

Таблицы 2-го вида принято называть функцией Лапласа или интегралом вероятностей. В них указана площадь под кривой Гаусса, лежащая в пределах от нуля до t, т.е. они задают вероятность того, что СВ примет значение меньше, чем t, но не менее нуля. Чтобы по этим таблицам найти нормированную нормальную функцию распределения, надо к табличному значению прибавить площадь под кривой, лежащую левее нуля, т. е. 0,5: F₀(t) = 0,5 + Φ(t). Для нахождения вероятности того, что СВ примет значение больше t, необходимо найти разность: 0,5 - Φ(t).

При использовании функции Лапласа может возникнуть затруднение в нахождении площадей под кривой Гаусса для отрицательных значений t, так как в таблицах 2-го вида отрицательные значения переменной не указаны.

Это затруднение легко разрешить, если учесть, что площади под кривой Гаусса слева от -t и справа от t равны (рис.34), т.е Ф(-t) = 0,5 – Ф(t).

Таблицы 3-го вида позволяют определять площадь под кривой Гаусса для интервалов, симметричных относительно математического ожидания, например для интервала от –2,5 до 2,5. Значения, полученные по этим таблицам, в два раза превышают значения, указанные в таблицах 2-го вида.

Таким образом, ответ на поставленные в задаче вопросы можно найти с учётом выше изложенного.

Вероятность того, что нагрузка линии будет менее 230 А:

Р(I < 230) = F(230) = F₀ ((230-200)/50) = F₀ (0,6) = 0,7257.

Вероятность того, что нагрузка линии будет менее 150 А:

Р(I < 150) = F(150) = F₀ ((150-200)/50) = F₀ (-1) = 0,1587.

Вероятность того, что нагрузка линии превысит 300 А:

Р(I > 300) = 1 -F(300) =

= 1 ‑ F₀ ((300-200)/50) = 1 ‑ F₀ (2) = 0,0228.

.Вероятность того, что нагрузка линии будет в пределах от 150 до 250 А:

Р (150 ≤ I < 250) = F(250) – F(150) =

= F₀ ((250-200)/50) - F₀ ((150-200)/50) =

= F₀ (1).‑ F₀ (-1) = 0,6826.

Для того чтобы убедиться в возможности применения закона Гаусса для задания закона распределения тока данной линии нужно определить (рис. 35) площадь под кривой, выходящую в область отрицательных (т.е. несуществующих) значений тока. Эта площадь равна вероятности принятия током невозможных для него значений. Если такая вероятность достаточно велика, то закон Гаусса нельзя применять для задания закона распределения тока данной линии:

Р(I < 0) = F(0) = F₀ ((0-200)/50) = F₀ (-4) = 0,000032.

Эта вероятность не является значительной, поэтому закон Гаусса в рассматриваемом случае применять можно.