- •Введение
- •1. ОсновНые понятия и определения теории автоматического управления
- •1.1. Краткие сведения по истории развития систем автоматического управления
- •1.2. Обобщенная структурная схема сау
- •1.2. Классификация сaу
- •2. Математическое описание линейных сау
- •2.1. Составление и линеаризация дифференциальных уравнений сау
- •2.2. Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения сау. Передаточные функции линейных звеньев и систем
- •Основные свойства (теоремы) преобразования Лапласа
- •Изображения по Лапласу типовых сигналов
- •2.3. Временные и частотные характеристики звеньев и систем
- •2.4. Элементарные звенья систем автоматического управления
- •Пропорциональное (усилительное, безинерционное, масштабирующее) звено
- •Интегрирующее звено
- •Идеальное дифференцирующее звено
- •Апериодическое звено первого порядка
- •Реальное дифференцирующее звено
- •Инерционное звено второго порядка
- •Звено чистого запаздывания
- •Интегро-дифференцирующее звено
- •Пропорционально-интегральный регулятор (пи-регулятор)
- •2.5. Неминимально-фазовые звенья
- •2.6. Эквивалентные преобразования структурных схем линейных сау
- •2.7. Передаточные функции многоконтурных систем
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Анализ устойчивости линейныхсау
- •3.1.Понятие устойчивости линейных систем
- •3.2.Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
- •3.3.Частотные критерии устойчивости Михайлова и Найквиста
- •3.4.Запасы устойчивости
- •3.5.Оценка устойчивости по логарифмическим амплитудно- и фазо-частотным характеристикам
- •3.6.Устойчивость систем с запаздыванием
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Качество динамических характеристик сау
- •4.1. Показатели качества процесса регулирования
- •4.2. Частотные критерии качества
- •4.3. Корневые критерии качества
- •4.4. Интегральные критерии качества
- •Вопросы для самопроверки
- •5. Оценка точности сАу
- •5.1. Стационарные режимы сау. Передаточные функции статических и астатических систем
- •5.2. Коэффициенты ошибки системы
- •5.3. Системы комбинированного управления
- •Вопросы для самопроверки
- •6. Анализ сау в пространстве состояния
- •6.1. Основные положения метода переменных состояния
- •6.2. Способы построения схем переменных состояния
- •Метод прямого программирования
- •Метод параллельного программирования
- •Метод последовательного программирования
- •6.3. Решение уравнений состояния линейных стационарных сау. Вычисление фундаментальной матрицы
- •Вопросы для самопроверки
- •7. Коррекция линейных сАу
- •7.1. Цели и виды коррекции
- •Последовательные корректирующие звенья
- •Параллельные корректирующие звенья
- •7.2. Частотный метод синтеза корректирующих устройств
- •Построение лах в низкочастотном диапазоне
- •Построение лах в среднечастотном диапазоне
- •Зависимость колебательности от значений hи h1
- •Построение лах в высокочастотном диапазоне
- •7.3. Последовательные корректирующие устройства
- •7.4. Параллельные корректирующие устройства
- •7.5. Техническая реализация корректирующих звеньев
- •Пассивные четырехполюсники постоянного тока
- •Пассивные корректирующие четырехполюсники
- •Активные корректирующие звенья
- •Активные четырехполюсники постоянного тока
- •Вопросы для самопроверки
- •8. Нелинейные системы автоматического управления
- •8.1. Особенности нелинейных систем и методы их анализа
- •8.2. Исследование нелинейных систем на фазовой плоскости
- •8.3. Метод гармонической линеаризации нелинейных звеньев
- •Коэффициенты гармонической линеаризации типовых нелинейностей
- •8.5. Методы определения параметров автоколебаний
- •Вопросы для самопроверки
- •Курсовая работа
- •Задание для расчета линейной caу
- •Варианты задания для расчета линейной сау
- •Варианты передаточных функций линейной сау
- •Задание для расчета нелинейной сау
- •Варианты задания для расчета нелинейной сау
- •Варианты структурных схем нелинейных систем Варианты статических характеристик нелинейного элемента
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
2.6. Эквивалентные преобразования структурных схем линейных сау
В САУ встречаются три вида соединений звеньев: последовательное, параллельное и соединение звеньев по схеме с обратной связью.
В системе, состоящей из n последовательно соединенных звеньев (рис. 2.28) выходной сигнал предыдущего звена равен входному сигналу последующего.
Изображения по Лапласу выходных сигналов этих звеньев равны:
xвых1(p) = W1(p)xвх(p); xвых2(p) = W2(p) xвых1(p); … xвых(p) = Wn(p)xвых(n)(p).
Откуда
xвыхxвх(p).
Следовательно, передаточная функция системы примет вид:
. (2.57)
Таким образом, передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев.
Частотные характеристики последовательно соединенных звеньев:
где A(ω) = A1(ω)A2(ω)…An(ω); .
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика звеньев, соединенных последовательно:
.(2.58)
Следовательно, логарифмические амплитудно- и фазо-частотная характеристики системы, состоящей из последовательно соединенных звеньев, равны сумме ЛАХ и ФЧХ отдельных звеньев. Это существенно упрощает построение логарифмических частотных характеристик, по сравнению с обычными характеристиками.
Передаточная функция минимально-фазовой системы в общем случае может быть записана в виде:
. (2.59)
В выражении (2.59) сомножители в числителе определяют нули передаточной функции, а именно:
сомножитель соответствует нулевому нолю кратности,
сомножитель – действительному нолюкратностиl,
сомножитель – паре комплексно-сопряженных нолей кратности .
Аналогичные сомножители в знаменателе выражения (2.59) определяют полюса передаточной функции, а именно:
сомножитель соответствует нулевому полюсу кратности,
сомножитель – действительному полюсукратности,
сомножитель – паре комплексно-сопряженных полюсов кратности .
Очевидно, что в зависимости от соотношения s и передаточная функция (2.59) может иметь только один тип особенностей: либо нулевые ноли, либо нулевые полюса. Кроме того, предполагается, что в (2.59) для коэффициентов демпфирования выполняются неравенства: 0 <ζ < 1.
Формально передаточная функция (2.59) представляет собой произведение нескольких сомножителей, что соответствует последовательному соединению звеньев, и для вычисления можно воспользоваться выражением (2.58). При этом построение ЛАХ системы осуществляется без предварительного построения ЛАХ отдельных звеньев по следующим правилам.
На оси частот в порядке возрастания указываются все частоты сопряжения ЛАХ, определяемые соответствующими постоянными времени:= 1/.
Построение ЛАХ начинается на частотах, меньших самой малой частоты сопряжения .
Если при этом в выражении (2.59) выполняется равенство s = = 0 (система не имеет нулевых полюсов и нолей), то первая низкочастотная асимптота ЛАХ проводится параллельно оси частот на уровне 20lgk до частоты
Если в выражении (2.59) s , а= 0, то уравнение низкочастотной асимптоты:
, (2.60)
т.е. ЛАХ до наименьшей частоты сопряжения проводится с наклоном (+20∙s) дБ/дек.
Если в выражении (2.48) s =, а, то уравнение низкочастотной асимптоты:
, (2.61)
и наклон ЛАХ до наименьшей частоты сопряжения равен -20∙дБ/дек.
Для построения низкочастотной асимптоты ЛАХ необходимо для произвольной частоты меньшей или равнойпо выражениям (2.60) или (2.61) рассчитать величинуи через точку с координатами (;) провести ЛАХ с необходимым наклоном.
На частоте производится излом ЛАХ с изменением ее наклона, величина которого определяется видом сомножителя в выражении (2.59), которому соответствует сопрягающая частота. Наклон ЛАХ на частотеизменяется по отношению к предыдущему наклону на +20∙l, если соответствует постоянной времениT из сомножителя вида в числителе передаточной функции (2.59).
Если сомножитель вида , соответствующийприсутствует в знаменателе (2.59), то изменение наклона составляет -20∙.
В случае, когда соответствует постоянной времениT из сомножителя вида , происходит изменение предыдущего наклона на +40∙h, если указанный сомножитель присутствует в числителе , и на -40∙, если он присутствует в знаменателе.
Таким же образом характеристика продолжается в сторону увеличения частоты, претерпевая соответствующие изломы на каждой сопрягающей частоте . При необходимости вид построенной ЛАХ уточняется путем введения поправок для колебательных звеньев.
Примеры построения ЛАХ по различным передаточным функциям приведены на рис. 2.29.
В системе, состоящей из n параллельно соединенных звеньев (рис. 2.30), на вход каждому из звеньев подается один и тот же сигнал xвх(p), а их выходные сигналы суммируются:
.
Так как
;
;
……………………………
,
то
xвых(p) = xвых1(p) +xвых2(p)+…+xвых(n)(p) = .
Таким образом, передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев:
W(p) =. (2.62)
Очевидно, что в случае, когда выходной сигнал какого-либо из параллельно соединенных звеньев поступает в сумматор со знаком «минус», передаточная функция этого звена входит в (2.62) также со знаком «минус».
Рассмотрим структуру системы с обратной связью (рис. 2.31). На вход звена, охваченного обратной связью, подается сигнал рассогласования, равный:
.
Поскольку , то
Изображение выходного сигнала:
xвых(р)=
откуда
.
Следовательно, передаточная функция замкнутой системы (в замкнутом состоянии) описывается следующим выражением:
Ф(p) = . (2.63)
Передаточная функция (2.63) найдена для случая отрицательной обратной связи. Если обратная связь положительная, то
Ф(p) = . (2.64)
При анализе и синтезе CАУ, наряду с передаточной функцией (2.63) – (2.64), используются передаточная функция разомкнутой системы и передаточная функция по ошибке.
Передаточная функция разомкнутой системы (замкнутой системы в разомкнутом состоянии):
W(p) = . (2.65)
Передаточная функция по ошибке:
Фx(p) =
. (2.66)