8. Нелинейные системы автоматического управления

8.1. Особенности нелинейных систем и методы их анализа

Система автоматического регулирования является нелинейной, если для нее не выполняется принцип суперпозиции, и сигналы в системе связаны между собой нелинейными дифференциальными уравнениями. Строго говоря, линейных САУ не существует, так как характеристики реальных устройств нелинейны и некоторые из них не могут быть линеаризованы, а при боль­ших отклонениях сигналов от установившихся значений приходится учитывать нелинейные свойства и элементов САУ, допускающих линеаризацию.

Причиной нелинейности САУ может быть то, что некоторые сигналы или их производные входят в математическое описание системы не в первой степени или имеется произведение сигналов, а также то, что коэффициенты уравнений изменяются во времени или являются функциями сигналов и их производных. Очень часто нелинейность системы обусловлена наличием в ней звеньев, у которых выходной и входной сигналы связаны между собой существенной, т.е. неподдающейся линеаризации, статической нелинейной зависимостью вида: . К числу таких звеньев относятся так называемыетиповые нелинейности (табл. 8.1).

Во всех перечисленных случаях процессы, протекающие в САУ, описываются нелинейными диф­ференциальными уравнениями, что существенно услож­няет их анализ. К сигналам в нелинейной системе неприменимы преобразования Лапласа или Фурье в обычном виде. В отличие от линейных САУ нелинейная система может иметь несколько состояний устойчивого или неустойчивого равновесия, причем области устойчивости определяются не только параметрами системы, но и значениями начальных условий.

Нелинейная система может находиться не только в равновесно сходящемся процессе, но и в устойчивом установившемся периодическом режиме, называемом режимом автоколебаний. В переходном колебательном процессе в нелинейной системе изменяется не только амплитуда, но и частота колебаний.

При описании не­линейных САУ сначала составляют дифференци­альные уравнения для каждого звена системы. При этом характеристики звеньев, не являющихся существенно нелинейными, линеаризуются. В результате, получают систему дифференциальных уравнений, в которой одно или не­сколько уравнений нелинейные. Устройства, допускаю­щие линеаризацию, образуют линейную часть системы САУ, а устройства, которые не могут быть линеаризованы, составляют нелинейную часть.

Существует достаточно большое число методов, позволяющих решать задачи анализа и синтеза нелинейных систем, например: метод фазовой плоскости; метод кусочно-линейной аппроксимации; метод гармонической линеаризации; метод статистической линеариза­ции.

Метод фазовой плоскости применяется для анализа нелинейных систем, порядок которых не выше второго. На плоскости с координатами и, где – ошибка системы или какой-либо другой сигнал, строится траектория движения системы. Плоскость и траекторию движения систем называют фазовыми. По характеру фазовой траектории оценивается качество работы системы.

Метод кусочно-линейной аппроксимации используется в том случае, когда нелинейная часть системы безынерционна, и ее характеристика может быть аппроксимирована прямолинейными участками. На каждом таком участке процессы в системе описываются линейными дифферен­циальными уравнениями, решение которых может быть найдено. В точках излома нелинейной характеристики решения «сшиваются»: значения переменных в конце дан­ного участка принимаются за начальные условия для последующего участка. Таким образом удается построить фазовую траекторию движения системы.

Метод гармонической линеаризации базируется на замене нелинейного элемента линейным звеном, параметры которого определяются при синусоидальном входном сигнале из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Данный метод может быть исполь­зован в том случае, когда линейная часть системы является низкочастотным фильтром, т.е. отфильтровывает все гармонические составляющие выходного сигнала, кроме первой гармоники.

Метод статистической линеаризации является прибли­женным и применим для систем произвольного порядка. Он основан на замене нелинейного элемента линейным звеном, коэффициенты передачи которого по математиче­скому ожиданию и случайной составляющей сигнала на входе нелинейного элемента определяются из условия статистической эквивалентности нелинейного звена ли­нейному звену.

Рассмотрим описание динамики САУ на фазовой плоскости и использование метода гармонической линеаризации для широко распространенного класса нелинейных систем, характеризующегося следующими особенностями:

1. структура системы представляет собой соединения из двух частей (рис. 8.1) – линейной части (ЛЧ), описываемой линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, и нелинейного элемента (НЭ);

2. нелинейный элемент является безынерционным, и его входнойи выходнойсигналы связаны между собой некоторой статической зависимостью:

.

Если система содержит несколько нелинейных элементов, соединенных между собой параллельно, последовательно или по схеме обратной связи, то в ряде случаев удается заменить эти нелинейные элементы одним с результирующей статической характеристикой.

На рис. 8.2, а приведена структура системы, состоящая из двух параллельно включенных нелинейных звеньев, а на рис. 8.2, б проиллюстрирована методика определения результирующей статической характеристики . Для ее построения достаточно сложить ординаты нелинейных характеристики.

Рассмотрим структуру системы, состоящую из двух последовательно соединенных статических нелинейных звеньев (рис. 8.3, а). Методика построения результирующей нелинейной характеристики проиллюстрирована на рис. 8.3, б. В первом квадранте построена статическая характеристика первого нелинейного звена, а во втором квадранте – характеристика второго звена, но так, что ее оси повернуты на: осьсовпадает с положительной полуосью ординат, а осьнаправлена по отрицательной полуоси абсцисс. Значениювходного сигнала (точка 1 на оси) соответствует значениена выходе первого нелинейного элемента (точка 2).

При таком значении сигнала на входе второго нелинейного элемента сигнал на выходе системы равен:(точка 3). Очевидно, что величиныипредставляют собой соответственно абсциссу и ординату одной из точек на результирующей нелинейной характеристике.

Но удобнее построить эту характеристику в четвертом квадранте, для чего точка 3 с помощью биссектрисы третьего квадранта отображается в точку 4 на отрицательной полуоси ординат. Поскольку расстояния от начала координат до точек 3 и 4 одинаковы, точка 5 принадлежит эквивалентной нелинейной статической характеристике . Находя аналогичным способом ряд точек и соединяя их плавной кривой, получаем результирующую характеристику:.

Наиболее просто строится характеристика последовательного соединения трех нелинейных звеньев. Характеристика располагается в первом квадранте, а характеристики и, с соответствующим поворотом осей, – во втором и в третьем квадрантах (рис. 8.4).

В замкнутой системе (рис. 8.5, а) нелинейный элемент со статической нелинейностью , охвачен отрицательной обратной связью. При этом канал обратной связи также образует нелинейный элемент со своей статической нелинейностью.

Проиллюстрируем методику построения результирующей характеристики такой системы (рис. 8.5, б). В первом квадранте строится характеристика, а во втором (с поворотом осей на 90⁰ против часовой стрелки) строится характеристика .

На характеристикевыбирается произвольная точкаА. Координаты этой точки () – это соответствующие друг другу значения входного и выходного сигналов нелинейности в прямом канале системы. Сигналявляется входным сигналом нелинейного звена в обратной связи системы, а его значениюна выходе второй нелинейности будет соответствовать сигнал равный:.

В случае отрицательной обратной связи

т.е. указанному значению выходного сигнала системы, соответствует входной сигнал равный:

Следовательно, для построения первой точки результирующей нелинейности системы достаточно точкуА переместить вправо параллельно оси абсцисс на расстояние равное значению

Очевидно, что в случае положительной обратной связи, точку А необходимо было бы переносить на такое же расстояние влево. Осуществив указанную процедуру многократно, можно по полученным точкам построить результирующую характеристику: .

Если же между нелинейными элементами имеются разделяющие их инерционные линейные звенья, то САУ уже не удается свести к рассматриваемому в данном пособии классу систем.