8.3. Метод гармонической линеаризации нелинейных звеньев

При подаче на вход линейной системы гармонического сигнала

(8.18)

на выходе системы также устанавливается гармонический сигнал, но с другой амплитудой и смещенный по фазе по отношению к входному. Если же синусоидальный сигнал подать на вход нелинейного элемента, то на его выходе формируются периодические колебания, но по форме существенно отличающиеся от синусоидальных. В качестве при­мера на рис. 8.17 показан характер изменения выходной переменной нелинейного элемента с релейной ха­рактеристикой (8.14) при поступлении на его вход синусоидальных колебаний (8.18).

Разлагая периодический сигнал на выходе нелинейного элемента в ряд Фурье, представляем в виде суммы постоянной составляющей и бесконечного множества гармонических составляющих:

, (8.19)

где – постоянные коэффи­циенты ряда Фурье; – частота колебаний пер­вой гармоники (основная частота), равная частоте вход­ных синусоидальных колебаний;Т – период колебания первой гармоники, равный периоду входных синусоидальных колебаний.

Выходной сигнал нелинейного элемента поступает на вход линейной части САУ (см. рис. 8.1), которая, как правило, обладает существенной инерционностью. При этом высокочастотные составляющие сигнала (8.19) практически не проходят на выход системы, т.е. линейная часть является фильтром по отношению к высокочастотным гармоническим состав­ляющим. В связи с этим, а также учитывая, что ампли­туды гармонических составляющих в уменьшаются с ростом часто­ты гармоники, для приближенной оценки выходной величины нелинейного элемента, в большом числе случаев достаточно учитывать только первую гармониче­скую составляющую в.

Следовательно, при отсутствии постоянной составляю­щей в выходных колебаниях выражение (8.19) прибли­женно можно записать в виде:

. (8.20)

Выражая из формулы (8.20) функцию , а из производной– функцию, преобразуем выражение (8.20) следующим образом:

. (8.21)

Таким образом, нелинейная зависимость выходной величины от входной в нелинейном элементе приближен­но заменяется линейной зависимостью, описываемой вы­ражением (8.21).

Выполнив в вы­ражении (8.21) преобразование Лапласа, получим:

Как и для непрерывных звеньев введем в рассмотрение переда­точную функцию нелинейного гармонически линеаризо­ванного элемента, как отношение изображения выходной ве­личины к изображению входной величины:

. (8.22)

Таблица 8.1

Коэффициенты гармонической линеаризации типовых нелинейностей

Статическая характеристика нелинейного элемента
Линейная характеристика с зоной нечувствительности		0
Линейная характеристика с ограничением		0
Линейная характеристика с зоной нечувствительности и ограничением		0
Характеристика «люфт»
Идеальная релейная характеристика		0
Однозначная релейная характеристика с зоной нечувствительности		0
Неоднозначная релейная характеристика с зоной нечувствительности
Кубическая парабола:		0
Характеристика «петля гистерезиса»

Передаточная функция нелинейного эле­мента имеет существенное отличие от передаточной функ­ции линейной системы, заключающееся в том, чтозависит от амплитуды и частоты входного сигнала.

Выражение (8.22) запишем в виде:

q(A) + q₁(A), (8.23)

где q(A), q₁(A) – коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые как отношения коэффициентов ряда Фурье для пер­вой гармоники выходных колебаний к амплитуде вход­ных колебаний:

q(A) =q₁(A) =. (8.24)

Заменяя в выражении (8.23) р на , получим выражение длякомплексного коэффициента передачи нелинейного элемента:

q(A) +j q₁(A), (8.25)

являющегося аналогом АФХ для линейного звена.

В качестве примера определим выражение для комплексного коэффициента передачи нелинейного элемента с релейной статической характеристикой (8.14). Коэффициенты ряда Фурье A₁ и B₁ для указанной нелинейности равны:

;

B₁ .

Очевидно, что коэффициент B₁ будет равен нулю для любого нелинейного элемента с нечетно-симметричной статической нелинейностью.

Тогда, согласно выражениям (8.24) и (8.25) получим:

q(A) =;q₁(A) = 0 и W(A) = .

Значения коэффициентов гармонической линеаризации для нескольких типовых нелинейностей приведены в таблице 8.1.